九年级数学培优训练九主备人：毛锦军。
活动。一、课前热身。
1(2023年广西钦州)如图，在正方形abcd中，e是ab上一点，be＝2，ae＝3be，p是ac上一动点，则pb＋pe的最小值是___
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc是菱形，点c的坐标为(4,0)，∠aoc＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形oabc的两边分别交于点m，n(点m在点n的上方)，若△omn的面积为s，直线l的运动时间为t 秒(0≤t≤4)，则能大致反映s与t的函数关系的图象是( )
ab3．(2023年江苏南京)如图1，⊙o1，⊙o2的圆心在直线l上，⊙o1的半径为2 cm，⊙o2的半径为3 cm，⊙o1以1 m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙o1和⊙o2没有出现的位置关系是( )
a．外切 b．相交 c．内切 d．内含。
图1图24．(2023年山东淄博)如图z1010，rt△oab的顶点a(－2,4)在抛物线y＝ax2上，将rt△oab绕点o顺时针旋转90°，得到△ocd，边cd与该抛物线交于点p，则点p的坐标为( )
a．(，b．(2,2)
c．(，2) d．(2，)
活动二小试牛刀。
5如图，已知o(0,0)，a(4,0)，b(4,3)．动点p从o点出发，以每秒3个单位的速度，沿△oab的边oa，ab，bo作匀速运动；动直线l从ab位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点p运动到o时，它们都停止运动．当p**段oa上运动时，求直线l与以p为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围．
6．(2023年江苏连云港)如图z1011，在矩形abcd中，将点a翻折到对角线bd上的点m处，折痕be交ad于点e.将点c翻折到对角线bd上的点n处，折痕df交bc于点f.
1)求证：四边形bfde为平行四边形；
2)若四边形bfde为菱形，且ab＝2，求bc的长．
活动三一展身手。
7如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于b，a两点，c为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点a开始沿直线ba向上移动，作等边△cde，点d和点e都在x轴上，以点c为顶点的抛物线y=a（x﹣m）2+n经过点e．⊙m与x轴、直线ab都相切，其半径为3（1﹣）a．
1）求点a的坐标和∠abo的度数；
2）当点c与点a重合时，求a的值；
3）点c移动多少秒时，等边△cde的边ce第一次与⊙m相切？
8如图，在平面直角坐标系中，已知点a、b、c在x轴上，点d、e在y轴上，oa＝od＝2，oc＝oe＝4，b为线段oa的中点，直线ad与经过b、e、c三点的抛物线交于f、g两点，与其对称轴交于m，点p为线段fg上一个动点（点p与f、g不重合），作pq∥y轴与抛物线交于点q．
1）若经过b、e、c三点的抛物线的解析式为y＝－x2＋（2b－1）x＋c－5，则b＝＿＿c＝＿＿直接填空）
2）①以p、d、e为顶点的三角形是直角三角形，则点p的坐标为＿＿＿直接填空）
若抛物线顶点为n，又pe＋pn的值最小时，求相应点p的坐标。
3）连结qn，**四边形pmnq的形状：
能否成为平行四边形。
能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点p的坐标；若不能，请说明理由。
1解析：如图96，连接de，交ac于p，连接bp，则此时pb＋pe的值最小．
四边形abcd是正方形，图96
b，d关于ac对称．
pb＝pd.
pb＋pe＝pd＋pe＝de.
be＝2，ae＝3be，ae＝6，ab＝8.
de＝＝10.
故pb＋pe的最小值是10.
2．c3．d
5．解：当p**段oa上运动时，op＝3t，ac＝t，p与直线l相交时，解得＜t＜.
6．(1)证明：∵四边形abcd是矩形，∠a＝∠c＝90°，ab＝cd，ab∥cd.
∠abd＝∠cdb.
由翻折性质，得∠ebd＝∠abd，∠bdf＝∠cdb，∠ebd＝∠bdf.∴be∥df.∵四边形abcd是矩形，ad∥bc.∴de∥bf.
四边形bfde为平行四边形．
2)解：∵四边形bfde为菱形，be＝ed，∠ebd＝∠fbd＝∠abe.
四边形abcd是矩形，cd＝ab＝2，∠dbf＝30°.
∠c＝90°，∴bc＝2.
7解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，oa=1，ob=，∴a的坐标是（0，1）
abo=30°．
2）∵△cde为等边△，点a（0，1），∴tan30°=，d的坐标是（﹣，0），e的坐标是（，0），把点a（0，1），d（﹣，0），e（，0）代入 y=a（x﹣m）2+n，解得：a=﹣3．
3）如图，设切点分别是q，n，p，连接mq，mn，mp，me，过点c作ch⊥x轴，h为垂足，过a作af⊥ch，f为垂足．
△cde是等边三角形，∠abo=30°
∠bce=90°，∠ecn=90°
ce，ab分别与⊙m相切，∴∠mpc=∠cnm=90°，∴四边形mpcn为矩形，∵mp=mn
四边形mpcn为正方形…6分。
mp=mn=cp=cn=3（1﹣）a（a＜0）．
ec和x轴都与⊙m相切，∴ep=eq．
∠nbq+∠nmq=180°，∴pmq=60°
∠emq，=30°，∴在rt△mep中，tan30°=，pe=（﹣3）a
ce=cp+pe=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a
dh=he=﹣a，ch=﹣3a，bh=﹣3a，oh=﹣3a﹣，oe=﹣4a﹣
e（﹣4a﹣，0）
c（﹣3a﹣，﹣3a）
设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）2﹣3a
e在该抛物线上。
a（﹣4a﹣+3a+）2﹣3a=0
得：a2=1，解之得a1=1，a2=﹣1
a＜0，∴a=﹣1
af=2，cf=2，∴ac=4
点c移动到4秒时，等边△cde的边ce第一次与⊙m相切．
点评： 这道二次函数综合题目涉及的知识点较多，有：待定系数法确定函数解析式、等边三角形的性质、切线长定理等重点知识．难度在于涉及到动点问题，许多数值都不是具体值；（3）题中，正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键．
8、（12分）（1）b＝2，c＝9………2分）
2）①p（2，4）或（1，3）……4分）
②p8分）4）①若四边形pmnq为平行四边形时，点p坐标为………10分）
②若四边形pmnq为等腰梯形时，点p坐标为………12分）
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