九年级精英培优班数学训练（一）存在性问题。
班级姓名：1、 如图，在平面直角坐标系中放置一矩形abco，其顶点为a（0，1）、b（－3，1）、
c（－3，0）、o（0，0）．将此矩形沿着过e（－，1）、f（－，0）的直线ef向右下方翻折，b、c的对应点分别为b′、c′
1）求折痕所在直线ef的解析式；
2）一抛物线经过b、e、b′三点，求此二次函数解析式；
3）能否在直线ef上求一点p，使得△pbc周长最小？如能，求出点p的坐标；若不能，说明理由．
2、已知：抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的图象经过点b(12,0)和c(0，-6），对称轴为x=2.
1)求该抛物线的解析式；
2)点d**段ab上且ad=ac，若动点p从a出发沿线段ab以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点q以某一速度从c出发沿线段cb匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段pq被直线cd垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点q的运动速度；若不存在，请说明理由；
3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点m，使△mpq为等腰三角形？若存在，请求出所有点m的坐标；若不存在请说明理由。
解：2）设矩形沿直线向右下方翻折后，、的对应点为。
此时需说明]. 6分。
设二次函数解析式为：
抛物线经过、、.
得到解得。 9分。
3）能，可以在直线上找到点，连接。
由于、在一条直线上，故的和最小，由于为定长，所以满足周长最小。 10分。
设直线的解析式为：
12分。 14分。
解：方法一：∵抛物线过c(0,-6)
c=－6, 即y=ax2+bx－6
由解得：a= ,b=－
该抛物线的解析式为y=x2－x－63分。
方法二：∵a、b关于x=2对称。
a（－8，0） 设y=a(x＋8)(x－12)
c在抛物线上 ∴－6=a×8×(－12) 即a=
该抛物线的解析式为：y=x2－x－6 --3分。
2）存在，设直线cd垂直平分pq,
在rt△aoc中，ac==10=ad
点d在对称轴上，连结dq 显然∠pdc=∠qdc4分。
由已知∠pdc=∠acd
∠qdc=∠acd ∴dq∥ac5分。
db=ab－ad=20-10=10
dq为△abc的中位线 ∴dq=ac=56分。
ap=ad-pd=ad-dq=10-5=5
t=5÷1=5(秒)
存在t=5(秒)时，线段pq被直线cd垂直平分7分。
在rt△boc中， bc==6 ∴cq=3
∴点q的运动速度为每秒单位长度8分。
3）存在过点q作qh⊥x轴于h，则qh=3，ph=9
在rt△pqh中，pq==39分。
当mp=mq，即m为顶点，设直线cd的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：
解得： y=3x-6
当x=1时，y=－3 ∴m1(1, －310分。
当pq为等腰△mpq的腰时，且p为顶点。
设直线x=1上存在点m(1,y) ,由勾股定理得：
42+y2=90 即y=±
m2（1，） m3（111分。
当pq为等腰△mpq的腰时，且q为顶点。
过点q作qe⊥y轴于e，交直线x=1于f，则f(1, －3)
设直线x=1存在点m(1,y), 由勾股定理得：
y＋3)2+52=90 即y=－3±
m4(1, －3＋) m5((1, －312分。
综上所述：存在这样的五点：
m1(1, －3), m2（1，）,m3（1，－）m4(1, －3＋),m5((1, －3－).
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