2023年春季1答案。
一、1.； 2. 、2 ； 3. 3 ； 4. 1/3 ； 5. 105 ；6..
二、1、d； 2、b； 3、a； 4、c ； 5、d； 6、d.
三、1、因为，所以。
故有，当，矛盾。
所以。. 设到的过渡矩阵为a，即。
因为。因此。
这说明。因此。
3. 设，因此，这说明。
即是的解，因此可以被的基础解系线性表出，因此，即。
4. 因为。
因此，一个极大线性无关组为，化为行简化形式为。
因此。四、证明：因为()=
因为det(b)=1+，所以，当为奇数，det(b)0，…,线性无关。
当为偶数，det(b)= 0，…,线性相关。
五、解：设，.
因为，则由，得，解非齐次线性方程组，增广矩阵。
当时该非齐次线性方程组有解，即存在使得，解方程组得，，为任意常数。
所以为任意常数。
6．六、解：(i) 二次型对应的矩阵为。
则。即二次型的矩阵的所有特征值为。
ii) 因为二次型的规范形为，说明a的特征值有2个为正，1个为零，因此a只能为2，a的特征值为0，2，3
iii) 由。
将a的特征值0，2，3分别代入计算得到3个彼此正交的特征向量为。
正交化后得。
因此正交矩阵为。
标准型为。
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