第五章有限定理。
1、设是单调非降函数，且，对随机变量，若，则对任意，。
2、为非负随机变量，若，则对任意，。
3、若，为随机变量，且，则关于任何，4、各以概率取值和，当为何值时，大数定律可用于随机变量序列的算术平均值？
5、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：
6、若具有有限方差，服从同一分布，但各间，和有相关，而是独立的，证明这时对大数定律成立。
7、已知随机变量序列的方差有界，，并且当时，相关系数，证明对成立大数定律。
8、对随机变量序列，若记，，则服从大数定律的充要条件是。
9、用斯特灵公式证明：当，而时，10、某计算机系统有120个终端，每个终端有5%时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试求有10个或更多终端在使用的概率。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
11、求证，在时有不等式。
12、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，，则不管是如何大的常数，总有。
13、用车贝晓夫不等式确定当掷一均匀铜币时，需投多少次，才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%。并用正态逼近计算同一问题。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
14、用车贝晓夫不等式及德莫哇佛——拉普拉斯定理估计下面概率：并进行比较。这里是次贝努里试验中成功总次数，为每次成功的概率。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
15、现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与之差小于1%的概率是多少？酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
16、种子中良种占，我们有99%的把握断定，在6000粒种子中良种所占的比例与之差是多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
17、蒲丰试验中掷铜币4040次，出正面2048次，试计算当重复蒲丰试验时，正面出现的频率与概率之差的偏离程度，不大于蒲丰试验中所发生的偏差的概率。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
18、设分布函数列弱收敛于连续的分布函数，试证这收敛对是一致的。
19、试证若正态随机变量序列依概率收敛，则其数学期望及方差出收敛。
20、若的概率分布为，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。
21、随机变量序列具有分布函数，且，又依概率收敛于常数。试证：（i）的分布函数收敛于；（ii）的分布函数收敛于。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
22、试证：（1）；
5）是常数；
7）常数；
9）常数；10）是随机变量；
23、设。而是上的连续函数，试证。
24、若是单调下降的正随机变量序列，且，证明。
25、若是独立随机变量序列，是整值随机变量，，且与独立，求的特征函数。
26、若是非负定函数，试证（1）是实的，且；（2）；
27、用特征函数法直接证明德莫佛——拉普拉斯积分极限定理。
28、若母体的数学期望，抽容量为的子样求其平均值，为使，问应取多大值？
29、若为相互独立随机变量序列，具有相同分布，而，试证的分布收敛于上的均匀分布。
30、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。
31、用特征函数法证明，普阿松分布当时，渐近正态分布。
计算的特征函数，并求时的极限。
32、设独立同分布， ，则大数定律成立。
33、若是相互独立的随机变量序列，均服从，试证及渐近正态分布。
34、设是独立随机变量序列，均服从均匀分布，令，试证，这里是常数，并求。
35、若是独立同分布随机变量序列，，若是一个有界的连续函数，试证。
36、若是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证。
37、设是上连续函数，利用概率论方法证明：必存在多项式序列，在上一致收敛于。
38、设是独立随机变量序列，试证的充要条件为，对任意有。
39、试证独立同分布随机变量序列，若存在有限的四阶中心矩，则强大数定律成立。
40、举例说明波雷尔——康特拉引理（i）之逆不成立。
41、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若，则必有。
42、若是独立随机变量序列，方差有限，记。
1）利用柯尔莫哥洛夫不等式证明。
2）对上述，证明若，则收敛；
3）利用上题结果证明对成立柯尔莫哥洛夫强大数定律。
43、（1）设为常数列，令，试证收敛的充要条件是；
2）(kronecker引理)对实数列，若收敛，则。
44、设是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，则对成立大数定律的充要条件为。
45、设是独立同分布随机变量序列，且对每一个有相同分布，那么，若，则必须是变量。
46、设是独立随机变量序列，且服从，试证序列：（1）成立中心极限定理；（2）不满足费勒条件；（3）不满足林德贝格条件，从而说明林德贝格条件并不是中心极限定理成立的必要条件。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
47、若是独立随机变量序列，服从均匀分布，对服从，证明对成立中心极限定理，但不满足费勒条件。
48、在普阿松试验中，第次试验时事件a出现的概率为，不出现的概率为，各次试验是独立的，以记前次试验中事件a出现的次数，试证：（1）；（2）对成立中心极限定理的充要条件是。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。
49、设独立，服从均匀分布，问对能否用中心极限定理？
50、试问对下列独立随机变量序列，李雅普诺夫定理是否成立？
51、求证：当时，。
52、种子中良种率是，现有6000粒种子，用契比雪夫不等式估计至少是多少？(x是这批种子中的良种数)
53、设螺丝钉的重量是一个期望值是1两，标准差是0.1两，求一盒(100个)螺丝钉的重量超过10.2斤的概率（）籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。
54、已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布。求这本书的印刷错误总数不多于70的概率。
台车床彼此独立地工作着。每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求任一时刻有70台至86台车床工作的概率。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。
56、叙述并证明贝努力大数定律。
57、若是独立的随机变量序列，且的分布列是，证明服从大数定律。
58、设为相互独立的随机变量序列，且服从参数为的泊松分布，证明服从大数定律。
59、设独立同分布，。证明：
其中，是标准正态分布函数。
60、设独立同分布，且设。证明：当充分大时。
近似服从正态分布。
61、若为正的独立随机变量，服从相同分布，密度函数为，试证：
62、若的分布列为，试证大数定律适用于独立随机变量序列。
63、验证概率分布如下给定的独立随机变量序列是否满足马尔可夫条件：
64、用德莫哇佛——拉普拉斯定理证明：在贝努里试验中，，则不管是如何大的常数，总有。
65、若的概率分布为，试证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。
66、设。而是上的连续函数，试证。
67、若是单调下降的正随机变量序列，且，证明。
68、若为相互独立随机变量序列，具有相同分布，而，试证的分布收敛于上的均匀分布。
69、用特征函数法证明二项分布的普阿松定理。
70、用特征函数法证明，普阿松分布当时，渐近正态分布。
71、设是独立随机变量序列，均服从均匀分布，令，试证，这里是常数，并求。
72、若是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证。
73、设是相互独立且具有方差的随机变量序列，若，则必有。
74、若是独立随机变量序列，服从均匀分布，对服从，证明对成立中心极限定理，但不满足费勒条件。
75、求证：当时，。
第五章解答。
1、证：对任意，
2、证：对任意， 。
3、证：为非负随机变量，所以对有。
4、解：现验证何时满足马尔可夫条件，若，这时，利用间的独立性可得。
若，则。所以当时，大数定律可用于独立随机变量序列。
5、证：（1），不满足马尔可夫条件。
满足马尔可夫条件。
3），不满足马尔可夫条件。
6、证：因为是独立的，所以。
其中利用且有限。马尔可夫条件成立，所以对序列成立大数定律。
7、证：由题中条件可得，对任给，存在n，使当时有（设），则。
在上式前一个和式中，可以依次取；对每个固定的来说，由于且，所以至多对应项；从而和式中至多有项，在后一个和式中，由于，所以对取，至多依次对应项，从而和式中至多有项，利用可得渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。
当充分大时，上式右方之值可以小于，所以。
对大数定律成立。
8、证：充分性。是的增函数，所以对任给有。
所以当时有，此时服从大数定律。
必要性。设服从大数定律，即，则对任给，存在，当时有。由关于的单调性和得。当时）。
9、证：斯特灵公式为。由此得。
若，则当
时，才有下式成立：
此题未必满足（2）式，所以不加条件地利用（3）式证是不妥的。这里结论的证明很简单。若利用（3）式估计（1）式值，则应有。
后一式蕴含在前一式中，即应补设前一条件成立，利用（3）才可证得结论。下面用另一种证法证明。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。
视为连续变量进行估值，然后再置为取正整数的变量，结论也应成立。利用台劳展式。
由得。由题设条件得。
所以要证明的结论中只能是，在题设条件下显然有，所以欲。
必须且只需，即。
这条件必须在题中补设出来，即再当时有。
10、解：每个终端在某时刻使用的概率为0.05，表示在某时刻同时使用的终端数。则。
由积分极限定理得。
即有10个或更多个终端在使用的概率为0.047。
11、证：当时有。
所以不等式成立。
12、证：利用德莫哇佛——拉普拉斯积分定理得。
在如上积分中，积分区间长度，所以。
13、解：设需要投掷次，用车贝晓夫不等式得（p=0.5）
取。用积分极限定理得。
取。14、解：利用车贝晓夫不等式估计值为：。
利用德莫哇佛——拉普拉斯积分定理估值为：
两者比较，后者估计精确得多。
15、解：任选6000粒可看作6000重贝努里试验，由积分极限定理得。
16、解：与上题同理得。
把代入上式计算得。
所以相应的良种数应落在925粒与1075粒之间。
17、解：在蒲丰试验中，频率与概率之差为。由积分极限定理得要求的概率为。
18、证：由于有界非降，，，故对任意，可找到，使当时有1）擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。
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