双曲线编辑[shuāng qū xiàn] 双曲线(hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。
目录1名。称定义。
2特征介绍。
3面积公式。
4参数方程。
5重点。5.1 取值范围5.
2 对称性5.3 顶点5.4 渐近线5.
5 离心率5.6 焦半径5.7 等轴双曲线5.
8 共轭双曲线5.9 准线6光学性质。
1名称定义我们把平面内与两个定点f1,f2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线。 （平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线）
即：│pf1-pf2│=2a
定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
双曲线准线的方程为x=±a/c（焦点在x轴上）或y=±a/c（焦点在y轴上）。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
不都是零。- 4ac > 0.
注：第2条可以推出第1条。
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x2/a2 - y2/b2 = 1.
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
标准方程为：
1、焦点在x轴上时为：
x2/a2 - y2/b2 = 1 （a>0，b>0）
2、焦点在y 轴上时为：
y2/a2 - x2/b2 = 1 （a>0，b>0）
2特征介绍以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。
分支。双曲线有两个分支。
焦点。在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。
准线。在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
离心率。在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
离心率e=c/a
双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。
但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）
顶点。双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。
实轴。两顶点之间的距离称为双曲线的实轴。实轴长的一半称为实半轴。
渐近线。双曲线有两条渐近线。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：x2/2-y2/4=1，令1=0，则x2/2=y2/4，则双曲线的渐近线为y=±(2)x
实际应用。通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔“小蛮腰”等。
3面积公式若 ∠f1pf2=θ，则 s△f1pf2=b2×cot（θ/2）或s△f1pf2=b2/tan（θ/2）
例：已知f1、f2为双曲线c：x2-y2=1的左右焦点，点p在c上，∠f1pf2=60°，则p到x轴的距离为多。
少？解：由双曲线焦点三角形面积公式。
得s△f1pf2=b2×cot（θ/2）=√3
设p到x轴的距离为h，则 s△f1pf2 =1/2×h×2√2; h =√6/2
4参数方程双曲线的参数方程：
x=a·sec θ 正割) y=b·tan θ a为实半轴长， b为虚半轴长，θ为参数。焦点在x轴上）
x=a(t+1/t)/2, y=b(t-1/t)/2 (t为参数）（a为半实轴长，b为半短轴长，焦点在x轴上）
5重点取值范围。
1]│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
对称性。关于坐标轴和原点对称。
顶点。a(-a,0) ，a'(a,0）。同时 aa'叫做双曲线的实轴且│aa'│=2a.
b(0,-b） ，b'(0,b）。同时 bb'叫做双曲线的虚轴且│bb'│=2b.
f1（-c,0) ,f2（c,0）。f1为双曲线的左焦点，f2为双曲线的右焦点且│f1f2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2
渐近线。焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ε1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角，即θ=arccos（1/e)
令θ=0，得出ρ=ε1-e）,x=ρcosθ=ε1-e）
令θ=π得出ρ=ε1+e）,x=ρcosθ=-1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(1-e)+(1+e)]/2
注意化简一下）
直线ρcosθ=[1-e)+(1+e)]/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转π/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=2-arccos（1/e)]
则θ=θ2-arccos（1/e)]
代入上式：cos=[(1-e)+(1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e1-e)+(1+e)]/2
现在可以用θ取代式中的θ’了。
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ1-e)+(1+e)]/2
现证明双曲线x2/a2-y2/b2=1 上的点在渐近线中。
设m(x,y）是双曲线在第一象限的点，则。
y=(b/a）√（x2-a2） (x>a)
因为x2-a2即 y所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方。
根据对称性第。
二、三、四象限亦如此。
离心率。第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞
第二定义：双曲线上的一点p到定点f的距离│pf│ 与点p到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
d点│pf│/d线（点p到定直线（相应准线）的距离）=e
焦半径。圆锥曲线上任意一点p(x,y）到焦点距离）
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│
等轴双曲线。
一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
共轭双曲线。
双曲线s'的实轴是双曲线s的虚轴且双曲线s'的虚轴是双曲线s的实轴时，称双曲线s'与双曲线s为共轭双曲线。
几何表达：s：（x2/a2）-(y2/b2）=1 s'：（y2/b2）-(x2/a2）=1
特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点。
2）焦距相等。
3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
准线。焦点在x轴上：x=±a2/c
焦点在y轴上：y=±a2/c
通径长。圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/（1-e2cos2θ）
弦长公式。d = 1+k2）|x1-x2|
√[1+k2）(x1-x2）2]
√（1+1/k2）|y1-y2|
√[1+1/k2）(y1-y2）2 ]
推导如下：由直线的斜率公式：k = y1 - y2） /x1 - x2）
得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = y1 - y2）/k
分别代入两点间的距离公式：|ab| =x1 - x2）2; +y1 - y2）2; ]
稍加整理即得：
ab| =x1 - x2|√（1 + k2;) 或 |ab| =y1 - y2|√（1 + 1/k2;)
双曲线的标准公式与反比例函数。
x2/a2 - y2/b2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的。
因为 xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而x2/a2 - y2/b2 = 1的对称轴是x轴，y轴。
所以应该旋转45°
设旋转的角度为 a（a≠0，顺时针）
a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有。x = xcosa + ysina
y = xsina + ycosa
取 a = 4
则。x2 - y2 = xcos（π/4） +ysin（π/4）)2 -(xsin（π/4） -ycos（π/4）)2
（√2/2 x + 2/2 y)2 -（2/2 x - 2/2 y)2
4 （√2/2 x) （2/2 y)
2xy.而xy=c
所以。x2/（2c) -y2/（2c) =1 (c>0)
y2/(-2c) -x2/(-2c) =1 (c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。
双曲线内、上、外。
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1；
在双曲线的线上称为双曲线上，则有x2/a2-y2/b2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x2/a2-y2/b2<1。
6光学性质从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。
数学曲线数学名词参考资料。
1． 人教版教材关于双曲线的定义 ．
2． 圆锥曲线光学性质 ．文库 ．2010-05-7 [引用日期2013-02-3] ．
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