第二章平面向量。
本章内容介绍。
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念。 （让学生对整章有个初步的、全面的了解。）
第1课时。2.1 平面向量的实际背景及基本概念。
教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。
学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大。学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念。
教具：多**或实物投影仪，尺规。
授课类型：新授课。
教学思路：一、情景设置：
如图，老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
分析：老鼠逃窜的路线ac、猫追逐的路线bd实际上都是有方向、有长短的量。
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）**学习。
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法：
用有向线段表示；
用字母ａ、ｂ
黑体，印刷用）等表示；
用有向线段的起点与终点字母：；
向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度。
向量与有向线段的区别：
1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。
4、零向量、单位向量概念：
长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的。
注意0与0的含义与书写区别。
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
5、平行向量定义：
方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ平行，记作ａ∥ｂ
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ2）零向量与零向量相等；
3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ）
a.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
c.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
d.有相同起点的两个非零向量不平行。
解：由于零向量与任一向量都共线，所以a不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以b不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以ｄ不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选c.
例4 如图，设o是正六边形abcdef的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量。
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。
向量与是共线向量，则a、b、c、d四点必在一直线上；
单位向量都相等；
任一向量与它的相反向量不相等；
四边形abcd是平行四边形当且仅当＝
一个向量方向不确定当且仅当模为0；
共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
解：①不正确。共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上。
不正确。单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。
不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的。 ④正确。⑥不正确。如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同。
2．书本88页练习。
三、小结 ：
1、描述向量的两个指标：模和方向。
2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比。
3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点。
高二数学平面向量
第二章平面向量。第3课时。2.2.2 向量的减法运算及其几何意义。教学目标 1.了解相反向量的概念 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。教学重点 向量减法的概念和向量减法的作图法。教...
平面向量题型汇总
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《平面向量》基础题型
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