城北中学初三数学拔高试题。
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每小题5分，共50分）
1．已知m≠0，下列计算正确的是（ ）
a．m2＋m3＝m5 b．m2·m3＝m6 c．m3÷m2＝m d．(m2)3＝m5
2．已知四个数：2，－3，－4，5，任取其中两个数相乘，所得积的最大值是（ ）
a．20b．12c．10d．－6
3．设a＋1与2 (a－1)的值互为相反数，则a的值是（ ）
a．3b．1c．0d．
4．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（ ）
a．360b．180° c．90d．60°
5．现有二○○八年奥运会福娃卡片5张，卡片正面分别印着贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮，每张卡片大小、质地和背面图案均相同．若将卡片正面朝下反扣在桌面上，从中随机一次抽出两张，则抽到卡片贝贝的概率是（ ）
abcd．6．there is a piece of work．it takes mr. a alone 20 days to finish，and mr. b 30 alone days to finish．it takes them（ ）days to work together to finish the work．
a．10b．12c．15d．50
7．如图，已知⊙o的半径为5，直线l与⊙o相交，点o到直线l的。
距离为2，则⊙o上到直线l的距离为3的点的个数是（ ）
a．4b．3c．2d．1
8．已知方程x2－2│x│－15＝0，则此方程的所有实数根的和为（ ）
a．0b．－2c．2d．8
9．已知实数a，b同时满足a2＋b2－11＝0，a2－5b－5＝0，则b的值是（ ）
a．1b．1，－6 c．－1d．－6
10．如图，在△abc中， d、e分别是bc、ac的中点．
已知∠acb＝90°，be＝4，ad＝7，则ab的长为（ ）
a．10b．5
c．2d．2
二、填空题（每小题5分，共40分）
11．某人使用计算器计算全班50名学生的一次数学测验的平均分时，如果错将其中的一个成绩115分输入为15分，那么由此求出的平均分比实际平均分低分．
12．已知函数y1与y2分别由下表给出，那么满足y1＞y2的x的值是。
13．设a > 0，是整数，则a的值为 ．
14．在图示的运算流程中，若输出的数y＝5，则输入的数x
15．如图，在矩形abcd中，点e、f分别在ab、cd上，af∥ec，△afd与四边形aecf的面积相等．已知。
ab＝6 cm，bc＝3 cm，则af与ce之间的距离是。
cm．16．设直线l1是函数y＝2x－4的图象，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则l2与两条坐标轴所围成的三角形的面积是。
17．如图，在△abc中，已知∠abc＝90°，d是ac的中点，过
点d作de⊥ac，与cb的延长线交于点e，以ba、be为邻。
边作长方形bafe，连接fd．若∠c＝60°，df＝ cm，
则bc的长为 cm．
18．在△abc中，已知∠acb=90，∠a＝40．若以点c为中心，将△abc旋转θ角到△dec 的位置，使b点恰好落在。
边de上（如图所示）．则。
三、解答题（第19—21题每题14分，第22题18分，共60分）
19．已知关于x的方程（a－1）x2－4x－1＋2a＝0的一个根为x＝3．
1）求a的值及方程的另一个根；
2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．
20．（1）已知恒等式x3－x2－x＋1＝（x－1）（x2＋kx－1），求k的值；
2）若x是整数，求证：是整数．
21．甲、乙两个水池同时放水，其水面高度（水面离池底的距离）h（米）与时间t（小时）之间的关系如图所示（甲、乙两个水池底面相同）．
1）在哪一段时间内，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？
2）求点p的坐标，由此得到什么结论？
3）当一个池中的水先放完时，另一个池中水面的高度是。
多少米？22．某人用一张面积为s的三角形纸片abc，剪出一个平行四边形defg．记□defg的面积为t,1）如图1，如果□defg的顶点都在△abc的各边上，d、g分别是ab、ac的中点．
求t（用s表示）；
2）如图2，如果□defg的顶点都在△abc的各边上，求证：t≤s；
3）对任意剪得的□defg，t≤s还成立吗？请说明理由．
参***。一、选择题（每小题5分，共50分）
1．c 2．b 3．d 4．b 5．c 6．b 7．b 8．a 9．a 10．c．
二、填空题（每小题5分，共40分）
11．2 12．2 13．1，4，5 14．10，或11 15．1.2 16．4 17．1 18．80．
(说明：第13题答对1个给1分，对2个给2分；第14题答对1个给2分）
三、解答题（第19题～第21题每题14分，第22题18分。共60分）
19．解：（1）由题设，得9（a－1）－4×3－1＋2a＝0．解得a＝2． …3分。
所以原方程为x2－4x＋3＝0．它的另一个根是17分。
2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：
三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．
那么三角形的周长是3或911分。
仅有两边相等，因为1＋1＝2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1．
那么三角形的周长是7．
由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或914分。
20．解：（1）由题设知3分。
所以，从而有。
解得k＝07分。
因为x是整数，所以x＋1是整数．
故是整数14分。
21．解：（1）由图知，甲池的放水速度为（米/小时）．
当0≤t≤3时，乙池的放水速度为（米/小时）；
当3＜t≤5时，乙池的放水速度为（米/小时）．
因为＜2，2＜，所以3＜t≤5时，乙池的放水速度快于甲池的放水速度4分。
2）甲池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为h＝－2t＋8．
当0≤t≤3时，乙池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为．
由解得所以，即．
由此说明，当t＝1.2小时时，两池中水面的高度相等10分。
3）由图知，甲池中的水4小时放完．
当3＜t≤5时，乙池中水面高度h（米）与时间t（小时）的函数关系为．
当t＝4时，，即h＝2.5．
所以当甲池中的水先放完时，乙池中水面的高度是2.5米14分。
注：（1）中，答3＜t≤4，不扣分．
22．解：（1）因为d、g分别是ab、ac的中点，所以dg∥bc，且dg＝bc．
分别过点a、d作am⊥bc，dn⊥bc．则∠dnb＝∠amb．
因为∠b＝∠b，所以△dnb∽△amb．又因为db＝ab，所以dn＝am．
故t＝s6分。
2）过点g作gh∥ab，交bc于点h．则∠b＝∠ghf．
因为de＝gf，de∥gf，所以∠deb＝∠gfh．从而有△dbe≌△ghf．
因为dg∥bc，所以∠adg＝∠b，从而有△adg∽△abc．
同理，△ghc∽△abc．设ad＝kab（0＜k＜1），则s△adg＝k 2s．
同理，s△ghc＝（1－k）2s．
t＝s－s△adg－s△ghc＝[1－k 2－（1－k）2] s
（－2 k 2＋2 k）s＝－2[（k－）2－] s
－2（k－）2 s＋s≤s．……12分。
3）分以下四种情形讨论：
第一种情形：如果剪得的平行四边形有三个顶点在三角形。
的边上，第四个顶点不在三角形的边上．
当其中有两个顶点在同一边时，如图3-1所示，延长dg交ac于点g′，过点g′作g′f′∥gf，交bc于点f′，易知四边形def′g′是平行四边形，则t≤s□def′g′ ．
由（2）知，s□def′g′ ≤s．所以t≤s．
当三点分别在三角形的三边时，如图3-2，过a点作。
ah∥de交ef、dg于f′、g′,问题转化为（2）和图3-1两。
种情形，则。
t= s□def′g’’+s□f′g′gf ≤s△abh+ s△ahc=s．
第二种情形：如果剪得的平行四边形有两个顶点在三角形。
的边上，另两个顶点不在三角形的边上．
当这两个顶点在同一边上时，如图3-3，延长dg与三角。
形的两边ab、ac分别交于点l、k，作平行四边形mnkl．
问题转化为（2）．则。
t=s□defg≤s□mnkl≤s．
当这两个顶点分别在三角形的两边上时，如图3-4．延长de、
gf交bc于点k、m，过点k作kn∥dg，交g m于点n．易。
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