21．1 二次根式。
教学重难点关键。
1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．难点与关键：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数a≥0）是一个非负数；
2=a（a≥0）;反之：a=（）2（a≥0）．
a（a≥0）
议一议：1．-1有算术平方根吗？
2．0的算术平方根是多少？
3．当a<0，有意义吗？
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、x>0）、、x≥0，y≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：二次根式有：、（x>0）、、x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．
解：由3x-1≥0，得：x当x≥时，在实数范围内有意义．
例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得。
由①得：x≥- 由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
例4 计算。
分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（）2 =，3）2 =32·（）2=32·5=45，）2=，（2=．
例5 计算。
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
例6 化简。
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．
解：（1）==3 （2）==4
4x2-12x+9≥0，∴（2=4x2-12x+9
21．2 二次根式的乘除。
教学重难点关键。
＝（a≥0，b≥0），=a≥0，b≥0）
＝（a≥0，b≥0）．
a<0,b<0）=
（a≥0，b>0），=a≥0，b>0）
最简二次根式的运用．1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
例1．计算。
分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．
解：（12）×=
例2 化简。
分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．
解：（1）=×3×4=12 （2）=×4×9=36
（4）=×3xy
例3．计算：（1） （2） （3） （4）
分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．
解：（1）==2 （2）==2
例4．化简：
分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（12）=
例5．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6 解：由题意得，即。
∴6 ∵x为偶数 ∴x=8
∴原式=（1+x） =1+x）=（1+x）=
∴当x=8时，原式的值==6．
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
=-1，=-同理可得：=-
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算。
1）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=（-11）
21.3 二次根式的加减。
重难点关键。
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
例1．计算。
分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）+=2+3=（2+3）=5
例2．计算。
解：（1）3-9+3=12-3+6=（12-3+6）=15
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．
分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
解：∵4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0
2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=，y=3
原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6
当x=，y=3时，原式=×+6=+3
例4．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化为最简二次根式：
==|b|·
由题意得a=1，b=1
例5．计算。
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：（1）（+6）（3-）=3-（）2+18-6=13-3
例6．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．
分析：由于（+）1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式=+
+=（x+1）+x-2+x+2=4x+2
∵=2b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2a+b）x=a2+2ab+b2
∴（a+b）x=（a+b）2
a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2
贴近中考。2023年天津市中考数学试卷。
5. 已知，则代数式的值等于（ a ）
a. b. c. d.
2023年天津市中考数学试卷。
8．若，则估计的值所在的范围是（ b ）
a． b． c． d．
2023年天津市中考数学试卷。
3．若为实数，且，则的值为（ b ）
a．1 b． c．2 d．
11．化简。
2023年天津市中考数学试卷。
8）比较2，，的大小，正确的是（ c ）
a） （b） （c） （d）
练习。21.1 二次根式：
2. 当时，有意义。
3. 若有意义，则的取值范围是。
5. 在实数范围内分解因式：。
7. 已知，则的取值范围是。
8. 化简：的结果是。
9. 当时，。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于。
11. 使等式成立的条件是。
12. 若与互为相反数，则。
13. 在式子中，二次根式有（ ）
a. 2个 b. 3个 c. 4个 d. 5个。
14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
a. b. c. d.
15. 若，则等于（ ）
a. b. c. d.
16. 若，则（ ）
a. b. c. d.
17. 若，则化简后为（ ）
初三数学二次根式
第16章二次根式单元小结。一 知识网络。二 知识达标。1 形如的式子称为二次根式。2 二次根式的性质 a 0 是一个数 2 a 0 当a 0时，当a 0时。3 用基本符号把数或字母连接起来的式子称为代数式。4二次根式的乘 除法则 逆用时可作为化简二次根式的性质 5 最简二次根式的条件 被开方数中不含...
初三数学二次函数
初三数学二次函数与二次方程检测题。组题人 闫冰程。一 选择题 本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求 1.抛物线的顶点坐标是 abcd.2.对于二次函数，下列命题中正确的是 a 函数图象开口方向不确定。b.当时，抛物线开口向下。c.此抛物线的对称轴是...
初三数学二次函数
1 下列抛物线，对称轴是直线 的是 a 2 b 2 2 c 2 2 d 2 2 2 某幢建筑物，从10米高的窗口a用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线 抛物线所在平面与墙面垂直，如图 如果抛物线的最高点m离墙1米，离地面米，则水流下落点b离墙距离ob是 a 2米 b 3米 c 4米 d 5米。3 已知...