二次根式经典习题。
知识点一：二次根式的概念。
类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）
1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
2、二次根式有意义时的的取值范围是。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）
3、代数式的最大值是。
4、化简。5、若，求的值。
6、若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
7、 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++
1.已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。
2.若的整数部分是a，小数部分是b，则 。
3.若的整数部分为x，小数部分为y，求的值。
知识点二：二次根式的性质。
例1】若则。
1、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿
2、若与互为相反数，则。
（公式的运用）
例2】 化简：的结果为（ ）
a、4—2a b、0 c、2a—4 d、4
（公式的应用）
例3】已知，则化简的结果是。
ab、 c、 d、
例4】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简。
a－b│+ 的结果等于（ ）
a．－2b b．2b c．－2a d．2a
例5】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）
a）x为任意实数 （b）≤x≤4 （c） x≥1 （d）x≤1
例6】如果，那么a的取值范围是（ ）
a. a=0 b. a=1 c. a=0或a=1 d. a≤1
例7】化简二次根式的结果是。
a） (b) (c) (d)
1、把二次根式化简，正确的结果是（ ）
abcd.
2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时。
知识点三：最简二次根式和同类二次根式。
知识要点】1、最简二次根式：
1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
例8】在根式1) ，最简二次根式是（ ）
a．1) 2) b．3) 4) c．1) 3) d．1) 4)
例9】下列根式中能与是合并的是( )
a. b. c.2 d.
1、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式， 则a
知识点四：二次根式计算——分母有理化。
知识要点】
1．分母有理化。
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：
先将分子、分母化成最简二次根式；
将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
典型例题】
例10】 把下列各式分母有理化。
例11】把下列各式分母有理化。
例12】把下列各式分母有理化：
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除。
例13】化简。
例14】化简：
例15】能使等式成立的的x的取值范围是（ ）
a、 b、 c、 d、无解。
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减。
知识要点】
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
典型例题】
例16】计算（1）；
例17】 （1） （2）
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值。
例18】 1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
知识点八：根式比较大小。
知识要点】
1、根式变形法当时，如果，则；如果，则。
2、平方法当时，如果，则；如果，则。
3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法。
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ；
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ；
典型例题】
例19】 比较与的大小。（用两种方法解答）
例20】比较与的大小。
例21】比较与的大小。
例22】比较与的大小。
例23】比较与的大小。
1．先化简，再求值．（6x+）-4x+），其中x=，y=27．
2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）
3. 已知，求的值。
4.·（m>0，n>0）
5.-3÷（）a>0）
二次根式新题型。
一。 开放求值题。
例1. 请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值。
解：原式。当时，原式；当时，原式。
二。 阅读判断题。
例2. 化简时，甲的解法是：；
乙的解法是：
以下判断正确的是（ ）
a. 甲的解法正确，乙的解法不正确。
b. 甲的解法不正确，乙的解法正确。
c. 甲、乙的解法都正确。
d. 甲、乙的解法都不正确。
解析：正确答案应为c。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解约分法，虽然两人的思路不同，解法各异，但最后殊途同归。
例3. 对于题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：
乙的解答是：
谁的解答是错误的？为什么？
解析：解答此题的关键是对于式子脱去根号后，得到，还是。这就必须要明确是正还是负。
故乙的解答是错误的。
评注：这两道题格调清新，考查面宽广，从分母有理化、二次根式的性质、二次根式的化简等基础知识、基本技能到思维的灵活性、深刻性、批判性等方面都进行了考查。解答时要慎重思考，仔细甄别。
这类题有利于学生养成对待问题认真负责、一丝不苟的态度。
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