第二十一章二次根式。
知识与技能。
1．理解二次根式的概念．
2．理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．
3．掌握·＝（a≥0，b≥0），=
（a≥0，b>0），=a≥0，b>0）．
4．了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．
21．1 二次根式。
例．当x是多少时，+在实数范围内有意义？
分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．
解：依题意，得。
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．
大练兵。1)已知y=++5，求的值．
2)若+=0，求a2004+b2004的值．
同步练习。一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
a．- b．
c． d．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
a． b．
c． d．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
a．5b．
cd．以上皆不对。
二、填空题。
1．形如___的式子叫做二次根式．
2．面积为a的正方形的边长为___
3．负数___平方根．
三、综合提高题。
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
3．若+有意义，则=__
4.使式子有意义的未知数x有（ ）个．
a．0 b．1
c．2 d．无数。
5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．
21.1 二次根式(2)
应用拓展。例．计算。
1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0
（）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
4x2-12x+9≥0，∴（2=4x2-12x+9
例3在实数范围内分解下列因式：
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
一、选择题。
1．下列各式中、、、二次根式的个数是（ ）
a．4 b．3 c．2 d．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）
a．a>0 b．a≥0
c．a<0 d．a=0
二、填空题。
2．已知有意义，那么是一个___数．
三、综合提高题。1．计算。
2．把下列非负数写成一个数的平方的形式：
（3） （4）x（x≥0）
3．已知+=0，求xy的值．
4．在实数范围内分解下列因式：
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
21.1 二次根式(3)
应用拓展。例2 填空：当a≥0时，=_当a<0时并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ 2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．
解：（1）因为=a，所以a≥0；
（2）因为=-a，所以a≤0；
3）因为当a≥0时=a，要使》a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使》a，即使-a>a，a<0综上，a<0
例．当x>2，化简-．
一、选择题。
1．的值是（ ）
a．0 b． c．4 d．以上都不对。
2．a≥0时，、、比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）
a．=≥b．>>
c．<
二、填空题。
2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是___
三、综合提高题。
1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，__的解答是错误的，错误的原因是。
2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．
提示：先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++
21．2 二次根式的乘除。
四、应用拓展。
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
解：（1）不正确．
改正：=＝2×3=6
（2）不正确．
改正：×=4
一、选择题。
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）
a．3cm b．3cm c．9cm d．27cm
2．化简a的结果是（ ）
a． b． c．- d．-
3．等式成立的条件是（ ）
a．x≥1 b．x≥-1 c．-1≤x≤1 d．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）
a．4×2=8 b．5×4=20
c．4×3=7 d．5×4=20
二、填空题。
2．自由落体的公式为s=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是。
三、综合提高题。
1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
2．**过程：观察下列各式及其验证过程．
验证：2=×=
验证：3=×=
同理可得：4
通过上述**你能猜测出： a=__a>0）,并验证你的结论．
21．2 二次根式的乘除。
四、应用拓展。
例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6 解：由题意得，即。
∴6 ∵x为偶数。
∴x=8∴原式=（1+x）
=（1+x）
=（1+x）=
∴当x=8时，原式的值==6．
一、选择题。
1．计算的结果是（ ）
a． b． c． d．
2．阅读下列运算过程：
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）
a．2 b．6 c． d．
二、填空题。
1．分母有理化：(123
2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是___
三、综合提高题。
1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？
2．计算。（1）·（m>0，n>0）
（2）-3÷（）a>0）
21.2 二次根式的乘除(3)
四、应用拓展。
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
=-1，=-同理可得：=-
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算。
1）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=（-11）
一、选择题。
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）
a．（y>0） b．（y>0） c．（y>0） d．以上都不对。
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）
九年级数学二次根式
21.1 二次根式。学习目标 重点 难点。学习目标 1 理解二次根式的概念，并利用 a 0 的意 答具体题目。2 理解 a 0 是一个非负数和 2 a a 0 并利用它们进行计算和化简。重点难点 1 二次根式的性质。2 能确定二次根式中字母的取值范围。知识概览图。2 a a 0 新课导引。如右图所示...
九年级数学二次根式
21.1 二次根式。学习目标 重点 难点。学习目标 1 理解二次根式的概念，并利用 a 0 的意 答具体题目。2 理解 a 0 是一个非负数和 2 a a 0 并利用它们进行计算和化简。重点难点 1 二次根式的性质。2 能确定二次根式中字母的取值范围。知识概览图。2 a a 0 新课导引。如右图所示...
九年级数学二次根式
第一讲二次根式。一 知识要点。1 基本概念 平方根 算术平方根 二次根式 最简根式 分母有理化 2 基本运算 二 典型例题。1 填空 1 若，则。2 函数中自变量的取值范围是函数值的取值范围是 4 若函数，则。2 设a，b都是正实数且，那么的值为 a bcd 3 若x 1，则 等于 a 1b 3 2...