21.1 二次根式。
学习目标、重点、难点。
学习目标】1、 理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意**答具体题目。
2、 理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简。
重点难点】1、 二次根式的性质。
2、 能确定二次根式中字母的取值范围。
知识概览图。
）2=a（a≥0）
**。新课导引。
如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电视节目的区域就越广．如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为r km，则它们之间存在近似关系式，r=，其中r是地球半径，r≈6400 km．若某个电视塔高为200 km，则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少？
【问题**】 因为r≈6400 km，h＝200 km，所以求传播半径r，实际上就是求的值，即求的值．怎么求的值呢？
解析】因为16002＝2560000，所以＝1600．
所以r ≈=1600(km)
教材精华。知识点1 二次根式的概念。
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中“”读作“二次根号”．
拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“”．如，等都有“”，虽然=4，但是4是二次根式的计算结果，因此，，，等也都是二次根式。
(2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，但前提是必须保证有意义，即a≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：，因为无论 a取什么实数，都有a2≥0，所以是二次根式．而，都不是二次根式，因为它们虽然都有“”，但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的．因此判别二次根式时，不仅要从表达形式上看是否存在“”，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母的取值范围．
3)“”的根指数为2，即“”，我们常省略根指数2，写作“”，不要误把“”的根指数当做0．如就不是二次根式，因为它的根指数是3．
4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：与相乘，要写成的形式，此时的有理数称为二次根式的系数。
知识点2 确定二次根式中字母的取值范围。
要使有意义，被开方数a就必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，如，只有当2x+1≥0，即x≥时，二次根式才有意义。 再如，对于式子来说，只有当即-1＜x≤3时，二次根式才有意义。
拓展对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零。
知识点3 二次根式的性质。
二次根式的双重非负性：≥0，a≥0，因为（a≥0）表示非负数a的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知≥0，如，等都是非负数。
)2=a（a≥0）. 由于（a≥0）表示非负数a和算术平方根，将非负数a的算术平方根平方，就等于它本身a，因此有（)2=a，例如：（)2=3，（)2=6，（)2=1.5.
拓展（1）（)2=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数。
2）把（)2=a（a≥0）逆用，写成a=（)2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，2可以写成（)2，所以x2-2=x2-（)2=（x+）（x-）.
3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用。 比如：
3)2=32×（)2=9×2=18. （2=（)2×（)2=×6=等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.
知识点4 的化简。
由于表示a2的算术平方根，所以的化简结果必须是个非负数。 而当有意义时a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0. 为了保证的化简结果非负，所以在化简结果中添加绝对值符号，即，然后再根据a的符号化简绝对值。
比如：. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如。 如果中a的符号不确定，那么要讨论。
即=拓展 （)2与的区别与联系，如下表所示：
知识点5 代数式。
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式。 例如：5，a，a+b，ab， (t≠0)，x3，，等都是代数式。
拓展代数式中不含有等符号，只有运算符号。
课堂检测。基本概念题。
1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
基础知识应用题。
2、当x取何值时，下列各式有意义？
3、实数a，b在数轴上的位置如图21-1所示，化简。
综合应用题。
4、（1）三角形的高是底的，底为xcm，则这个三角形的面积是cm2;
2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是 （设第一个圆的半径为r）.
探索创新题。
5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值。
甲同学的做法是：
原式＝乙同学的做法是：
原式＝谁的做法是正确的？说明理由。
体验中考。1、若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
a. x＞1且x≠2b. x≥1
c. x≠2d. x≥1且x≠2
2、若x，y为实数，且，则（x＋y）2010的值为 .
学后反思 附： 课堂检测及体验中***。
课堂检测。1、分析本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号“”；二是看被开方数是否是非负数。
解：（1）∵-3＜0，∴不是二次根式。
2）∵(3)2＞0，∴是二次根式。
（3）∵(3)3=-27＜0，∴不是二次根式。
（4）∵的根指数3，∴不是二次根式。
5）由于中的-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论。
当x≤0时，是二次根式；
当x＞0时，不是二次根式。
不一定是二次根式。
6）∵的根指是4，∴不是二次根式。
7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0，∴不是二次根式。
8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，当x≠-3时，是二次根式。
不一定是二次根式。
9）∵-a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4时，是二次根式；
当a≠4时，-(a-4)2＜0，不是二次根式。
综上，不一定是二次根式。
10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0，∴是二次根式。
解题策略】 本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，应考虑字母的取值范围，即二次根式中的a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的。
2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母。
解：（1）欲使有意义，则必有。
∴当x=0时，有意义。
（2）欲使有意义，则必有，且x≠-2.
∴当x≤0，且x≠-2时，有意义。
（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x取何实数，都有意义。
4）欲使有意义，则必有2-3x＞0，∴x＜.
∴当x＜时，有意义。
5）欲使有意义，则必有，且x≠2.
∴当x≥-2，且x≠2时，有意义。
6）欲使有意义，则必有。
当x≥3时，有意义。
7）欲使有意义，则必有，且x≠-1.
当x≤，且x≠-1时，有意义。
8）欲使有意义，则必有，且a≠-1.
∴当a≤2，且a≠-1时，有意义。
解题策略】 本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x-3≥0，得x≥3，由x2-3≠0，得x≠±，而±均不在x≥3的范围内，所以只需满足x≥3即可。 （7）小题中，由1-2x≥0，得x≤，由≠0，得x≠±1，只有x=-1在x≤的范围内，而x=1不在x≤的范围内，所以只需满足x≤，且x≠-1即可。
3、分析本题考查二次根式的性质，利用公式将形如的式子化简。
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0，解题策略】 解决此题的关键是牢记并理解公式=
4、分析由面积公式或周长公式写出代数式即可。 （1）底为xcm，则高为cm，所以三角形的面积为（cm2）. 2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为，所以这两个圆的周长之和为。
答案：（1） （2）
5、分析本题主要考查二次根式的性质的创新应用。因为，所以，所以。
解：甲同学的做法是正确的，理由如下：
乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了与的大小关系，导致错误。
九年级数学二次根式
21.1 二次根式。学习目标 重点 难点。学习目标 1 理解二次根式的概念，并利用 a 0 的意 答具体题目。2 理解 a 0 是一个非负数和 2 a a 0 并利用它们进行计算和化简。重点难点 1 二次根式的性质。2 能确定二次根式中字母的取值范围。知识概览图。2 a a 0 新课导引。如右图所示...
九年级数学二次根式
第一讲二次根式。一 知识要点。1 基本概念 平方根 算术平方根 二次根式 最简根式 分母有理化 2 基本运算 二 典型例题。1 填空 1 若，则。2 函数中自变量的取值范围是函数值的取值范围是 4 若函数，则。2 设a，b都是正实数且，那么的值为 a bcd 3 若x 1，则 等于 a 1b 3 2...
九年级数学二次根式试卷
融城辅导二次根式复习单元测试卷。一 填空题。1 3分 已知有意义，则在平面直角坐标系中，点p m，n 位于第象限 2 3分 的相反数是绝对值是。3 3分 若，则。4 3分 已知一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则此三角形周长为。5 3分 已知则值是。二 选择题。6 3分 当a 2时，式子中，有...