二次函数。
一：二次函数基础知识。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型，也是某些单变量最优化问题的数学模型。二次函数也是一种非常基本的初等函数，它作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，对二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
一、二次函数的定义和性质。
1.二次函数的定义：
形如(a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数。
2.二次函数的性质：
(1)二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开。
口向下，顶点是最高点；a越小，抛物线开口越大。
(2)二次函数的图象是一条抛物线。顶点为(-，对称轴；
当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞-，y随x的增大而增大，x＜-，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞-，y随x的增大而减小，x＜-，y随x的增大而增大。
(3)当a＞0时，当时，函数有最小值；当a＜0时，当时，函数有最大值。
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数a、b、c对其图象的影响。
(1)a决定抛物线的开口方向和开口大小：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下。 |a|的越大，开口越小。
|a|相等，抛物线全等。
(2)a与b决定抛物线对称轴的位置：a、b同号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴左侧；
a、b异号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴右侧；b=0时，抛物线的对称轴是y轴。
a，b都相同的抛物线是以顶点为动点的且沿对称轴平移而得到的一组抛物线系。
(3)c决定抛物线与y轴交点(0，c)的位置：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0，抛物线与y轴交于负。
半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点。 c相同的抛物线都过点(0，c).这些内容应该能够由数得形、依形判数。
二：图象的平移。
抛物线y=ax2 抛物线y=a(x-h)2+k
当h＞0，k＞0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k；
当h＞0，k＜0时，把抛物线y=ax2向右平移h个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k；
当h＜0，k＞0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向上平移k个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k；
当h＜0，k＜0时，把抛物线y=ax2向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位，得到抛物线y=a(x-h)2+k.
在学习中，不要死记这些结论，在观察中发现，函数图象的平移就是顶点的平移(也可以是其它关键点的平移，这是由于函数图象的平移是整体的平移，每个点都做相同的变换)，还可以引申到直线、双曲线的平移。在解题时，一定分清移动谁，不妨画草图。
1．(湖南长沙)把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( )
a. y=-2(x+1)2 b. y=-2(x-1)2 c. y=-2x2+1 d. y=-2x2-1
提示：这个题很基本，把顶点从原点处移至(0，1)处，选c.
2．(山西省)抛物线经过平移得到，平移方法是( )
a.向左平移1个单位，再向下平移3个单位。
b.向左平移1个单位，再向上平移3个单位。
c.向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
d.向右平移1个单位，再向上平移3个单位。
提示：此题要注意被移动的是抛物线=-2(x+1)2-3，即把顶点从(-1，-3)处移至原点处，因此写平移时需注意方向。选d.
3．(湖北荆门)把抛物线y=x+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5，则( )
答案：a提示：此题两种方法：法一：先求出y=x2-3x+5的顶点，按平移过程求出原图象顶点，从而求出解析式，确定b、c的值；
法二：先求出图象与y轴交点(0，5)按平移过程得原图象上一点(-3，7)，再求y=x2-3x+5上点(3，5)，按平移过程得原图象上一点(0，7)
4．(资阳市) 在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 (
提示：这是移轴的问题，需将它转化为移图象的问题——把图象向下、向左平移2个单位。可以先画图，总结规律。选b.
二：二次函数图像题型。
1．已知二次函数的图象如图所示，则a、b、c满足( )
解：a分析：由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知- ＜0.则b＜0.故选a.
2．y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则点m(a，bc)在( )
a.第一象限 b.第二象限。
c.第三象限 d.第四象限。
分析：由图可知：
抛物线开口向上a＞0.
bc＞0.∴点m(a，bc)在第一象限。
答案：a.点评：本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、c的符号。
3.已知一次函数y=ax+c，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图象是( )
分析：一次函数y=ax+c，当a＞0时，图象过。
一、三象限；当a＜0时，图象过。
二、四象限；c＞0时，直线交y轴于正半轴；当c＜0时，直线交y轴于负半轴；
对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)来讲：
解：可用排除法，设当a＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的开口向上，而一次函数y=ax+c应过。
一、三象限，故排除c；当a＜0时，用同样方法可排除a；c决定直线与y轴交点；也在抛物线中决定抛物线与y轴交点，本题中c相同则两函数图象在y轴上有相同的交点，故排除b.
答案：d.4.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
⑤ ，的实数)其中正确的结论有( )
a. 2个 b. 3个 c. 4个 d. 5个。
解：选b，③④正确。
四：二次函数与一元二次方程关系。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：
(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实。
根△=b2-4ac＞0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点。
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等实根，(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根。
△=b2-4ac＜0.
(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
1．判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点，若有求出公共点坐标，若没有，说明理由。
(1)y=-x2-x+1；(2)；(3)y=x2+3x+4
分析与解，二次函数y=ax2+bx+c与x轴公共点横坐标即方程ax2+bx+c=0的实根。
解：(1)有两个公共点，且方程-x2-x+1=0的两根为。
∴两个公共点坐标为。
(2)只有一个公共点，且由。
∴公共点坐标为(-2，0)
(3)没有公共点，理由如下：∵△32-4×1×4=-7＜0
∴二次函数y=x2+3x+4与x轴无公共点。
2. 二次函数y=mx2+(2m-1)x+m+1的图象总在x轴的上方，求m的取值范围。
分析与解答：抛物线总在x轴上方表明(1)开口向上；(2)与x轴没有公共点。
3. 一元二次方程x2+(k-1)x+1=0的一根大于2，一根小于2，求k的取值范围。
分析与解答：把方程的根的情况转化为二次函数y=x2+(k-1)x+1与x轴相交的情况。
方程一根大于2，一根小于2抛物线与x轴的两个公共点分布在点(2，0)的两侧，由于抛物线开口向上，当x=2时，y＜0
即22+2(k-1)+1＜0
4．已知抛物线的顶点p(3，-2)且在x轴上所截得的线段ab的长为4。
(1)求此抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点q，使△qab的面积等于12，若存在，求点q的坐标，若不存在，请说明理由。
分析与解答：已知抛物线的顶点坐标及与x轴公共点间的距离时，可利用抛物线的对称性求抛物线与x轴两个公共点坐标，并采用顶点式(待定系数)，可以大大减少计算量。
(1)∵由已知，可得抛物线的顶点为(3，-2)
∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2-2且对称轴为x=3，由抛物线的对称性可知，当抛物线在x轴上截得的线段长为4时，则点a、点b到直线x=3的距离均为2
∴a(1，0)，b(5，0)
∴a(1-3)2-2=0，解得。
(2)假定存在点q(m，n)，使s△qab=12，又
∴当n=6时，，解得m1=-1，m2=7
当n=-6时，，无实根。
∴q(-1，6)或(7，6)为所求。
5． 用图象法解一元二次不等式：．
解：设，则是的二次函数．
抛物线开口向上．
又当时，，解得．
由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
6．已知二次函数y=-x2+(2m+2)x-(m2+4m-3)(其中m为非负整数)，其图象交x轴于点a、点b，且点a在原点左侧，点b在原点右侧。
(1)求此二次函数的解析式；
(2)一次函数y=kx+b的图象经过点a，与这个二次函数的图象交于点c且s△abc=10，求一次函数的解析式。
分析与解答：
(1)抛物线开口向下，与x轴有两个公共点且分别在原点两侧，表示x=0时y＞0
∴m=0∴y=-x2+2x+3为所求。
(2)令y=0，-x2+2x+3=0解得x1=-1，x2=3
∴a(-1，0)，b(3，0)，∴ab=4
设c(p，q)∴q=-p2+2p+3
∵s△abc=10，当q=5时，-p2+2p+3=5，无实根，当q=-5时，-p2+2p+3=-5，∴p1=-2，p2=4
∴c1(-2，-5)，c2(4，-5)
若y=kx+b过a(-1，0)，c(-2，-5)
若y=kx+b过a(-1，0)，c(4，-5)
∴y=5x+5或y=-x-1为所求。
7．已知：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(1，0)和直线y=ax+b，它们的系数之间存在如下关系：a＞b＞c
(1)求证：抛物线与直线一定有两个不同的公共点；
(2)设抛物线与直线的两个公共点为a、b，过a、b分别作x轴的垂线，垂足分别为a1、b1，令，试问是否存在实数k，使线段a1b1的长为，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由。
分析与解答：
抛物线与直线的公共点情况等价于两个解析式组成的方程组的解的情况，从而转化为一元二次方程的根的判别式的问题。
∴ax2+(b-a)x+c-b=0
∴△=b-a)2-4a(c-b)=(b+a)2-4ac
∵y=ax2+bx+c过点(1，0)
∴a+b+c=0
又∵a＞b＞c
∴a＞0，c＜0
∴△=a+b)2-4ac＞0，即抛物线与直线一定有两个不同的公共点。
(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a1(x1，0)，b1(x2，0)
∴a1b1=|x1-x2|
且x1、x2是ax2+(b-a)x+c-b=0的两个实根。
∴k1=-4，k2=8
∵a+b+c=0，且a＞b＞c
∴a＞-a-c＞c
∵a＞0∴不存在k的值，使线段a1b1的长为。
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