一、选择题。
1．已知函数f(x)＝5，则f′(1)等于( )
a．5 b．1
c．0 d．不存在。
解析】 ∵f(x)＝5，f′(x)＝0，f′(1)＝0.
答案】 c2．已知f(x)＝xn且f′(－1)＝－4，则n等于( )
a．4 b．－4
c．5 d．－5
解析】 ∵f′(x)＝nxn－1，∴f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.
若(－1)n－1＝－1，则n＝4，此时满足(－1)n－1＝－1；
若(－1)n－1＝1，则n＝－4，此时不满足(－1)n－1＝1.
n＝4答案】 a
3．正弦曲线y＝sin x上一点p，以点p为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
a．[0，['altimg': w': 23', h':
43', eqmath': f(π,4t': latex', orirawdata':
frac', altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(3,4b．[0，π)
c．[[altimg': w': 23', h':
43', eqmath': f(π,4)'}altimg': w':
22', h': 43', eqmath': f(3,4d．[0，['altimg':
w': 23', h': 43', eqmath':
f(π,4t': latex', orirawdata': frac', altimg':
w': 23', h': 43', eqmath':
f(π,2)'}altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(3,4)'}
解析】 ∵sin x)′＝cos x，直线l的斜率kl＝cos x，－1≤kl≤1，直线l的倾斜角的范围是[0，['altimg': w': 23', h':
43', eqmath': f(π,4t': latex', orirawdata':
frac', altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(3,4)'}
答案】 a4．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
a.['altimg': w':
22', h': 43', eqmath': f(1,e)'}b．－[altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,e)'}
c．－e d．e
解析】 设切点坐标为(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，答案】 d
5．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(
a．64 b．32
c．16 d．8
答案】 a二、填空题。
6．若y＝10x，则y′|x＝1
解析】 ∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.
答案】 10ln 10
7．直线y＝['altimg': w': 22', h': 43', eqmath': f(1,2)'}x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b
解析】 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln x0.
y′＝(ln x)′＝altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(1,x)'}altimg': w':
33', h': 43', eqmath': f(1,x0)'}由题意知[',altimg':
w': 33', h': 43', eqmath':
f(1,x0)'}altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(1,2)'}x0＝2，y0＝ln 2.
由ln 2＝['altimg': w': 22', h': 43', eqmath': f(1,2)'}2＋b，得b＝ln 2－1.
答案】 ln 2－1
8．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的距离的最小值为___
解析】 与直线x－y－2＝0平行的抛物线的切线的切点到直线x－y－2＝0距离最小．易知切点为(['altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(1,2)'}altimg': w':
22', h': 43', eqmath': f(1,4)'}d＝[}altimg':
w': 46', h': 52', eqmath':
f(7\(2),8)'}
答案】 [altimg': w': 46', h': 52', eqmath': f(7\(2),8)'}
三、解答题。
9．若质点p的运动方程是s＝['altimg': w': 41', h':
34', eqmath': r(3,t2)'}s的单位为m，t的单位为s)，求质点p在t＝8 s时的瞬时速度．
质点p在t＝8 s时的瞬时速度为[',altimg': w': 22', h': 43', eqmath': f(1,3)'}m/s.
10．已知点p(－1,1)，点q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线pq平行的曲线y＝x2的切线方程．
解】 ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为m(x0，y0)，则＝2x0，又∵pq的斜率为k＝['altimg': w': 48', h':
43', eqmath': f(4－1,2＋1)'}1，而切线平行于pq，k＝2x0＝1，即x0＝['altimg': w':
22', h': 43', eqmath': f(1,2)'}所以切点为m(['altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,2)'}altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(1,4)'}
所求的切线方程为y－['altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(1,4)'}x－['altimg': w':
22', h': 43', eqmath': f(1,2)'}即4x－4y－1＝0.
11．求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数．
证明】 由xy＝1，得y＝['altimg': w': 22', h':
43', eqmath': f(1,x)'}所以y′＝－altimg': w':
32', h': 43', eqmath': f(1,x2)'}
在曲线xy＝1上任取一点p(x0，['altimg': w': 33', h':
43', eqmath': f(1,x0)'}则过点p的切线的斜率k＝－[mkern-12mu}',altimg': w':
33', h': 43', eqmath': f(1,x\\o\\al(2,0))'切线方程为y－['altimg':
w': 33', h': 43', eqmath':
f(1,x0)'}mkern-12mu}',altimg': w': 33', h':
43', eqmath': f(1,x\\o\\al(2,0))'x－x0)，即y＝－[mkern-12mu}',altimg': w':
33', h': 43', eqmath': f(1,x\\o\\al(2,0))'x＋['altimg':
w': 33', h': 43', eqmath':
f(2,x0)'}
设该切线与x轴、y轴分别相交于a、b两点，则a(2x0,0)、b(0，['altimg': w': 33', h':
43', eqmath': f(2,x0)'}故s△oab＝['altimg': w':
22', h': 43', eqmath': f(1,2)'}oa|·|ob|＝[altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,2)'}2x0|·|altimg': w': 33', h':
43', eqmath': f(2,x0)'}2，所以曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数。
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