第三天。
一、选择题。
1.如图，已知正方体abcd﹣a1b1c1d1，e、f 分别是bc1、bd的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与ef平行的截面个数为( )
a．3个 b．4个 c．5个 d．6个。
2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
a．若m∥α，n∥α，则m∥n b．若m⊥α，nα，则m⊥n
c．若m⊥α，m⊥n，则n∥α d．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
3.在正方体abcd-a1b1c1d1中，过dd1的中点作直线，使得与bd1所成角为40°，且与平面a1acc1所成角为50°，则的条数为（ ）
a．1b．2c．3d．无数。
4.正方体的棱上到异面直线，的距离相等的点的个数为（ ）
a.2 b.3 c.4 d.5
5.下列命题中正确的个数是（）
若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
若直线l与平面α平行，则与平面α内的任意一条直线都平行；
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．
a.0 b .1c.2d.3
6.过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（ ）
a． 2 b． 2（3﹣） c． 4（2﹣） d． 4（3﹣2）
7.如图，已知四边形abcd，abef都是矩形，m、n分别是对角线ac和bf的中点，则mn与平面bce的关系是 ．
8.已知pa垂直平行四边形abcd所在平面，若pc⊥bd，平行四边形abcd一定是 ．
9.若直线∥且，则与的关系是。
10.设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有 ．（把所有的真命题全填上）
x为直线，y，z为平面；
x，y，z都为平面；
x，y为直线，z为平面；
x，y，z都为直线；
x，y为平面，z为直线．
11.如图所示，正四棱锥p－abcd中，o为底面正方形的中心，侧棱pa与底面abcd所成的角的正切值为．
1)求侧面pad与底面abcd所成的二面角的大小；
2)若e是pb的中点，求异面直线pd与ae所成角的正切值；
3)问在棱ad上是否存在一点f，使ef⊥侧面pbc，若存在，试确定点f的位置；若不存在，说明理由．
12.如图，ab是圆o的直径，点c是圆o上异于a，b的点，直线pc⊥平面abc，e，f分别是pa，pc的中点。
1）记平面bef与平面abc的交线为，试判断直线与平面pac的位置关系，并加以证明。
2）设（i）中的直线与圆o的另一个交点为d，记直线df与平面abc所成的角为，直线df与直线bd所成的角为，二面角的大小为，求证：。
第三天。7.平行 8.菱形 9. 10.①③
11.解：(1)取ad中点m，连接mo，pm，依条件可知ad⊥mo，ad⊥po，则∠pmo为所求二面角p－ad－o的平面角．
po⊥面abcd，∠pao为侧棱pa与底面abcd所成的角．
tan∠pao＝．
设ab＝a，ao＝a， po＝ao·tan∠poa＝a，tan∠pmo＝＝．
∠pmo＝60°．
(2)连接ae，oe， ∵oe∥pd，∠oea为异面直线pd与ae所成的角．
ao⊥bd，ao⊥po，∴ao⊥平面pbd．又oe平面pbd，∴ao⊥oe．
oe＝pd＝＝a，tan∠aeo＝＝．
3)延长mo交bc于n，取pn中点g，连bg，eg，mg．
bc⊥mn，bc⊥pn，∴bc⊥平面pmn．
平面pmn⊥平面pbc．
又pm＝pn，∠pmn＝60°，∴pmn为正三角形．∴mg⊥pn．又平面pmn ∩平面pbc＝pn，∴mg⊥平面pbc．
取am中点f，∵eg∥mf，∴mf＝ma＝eg，∴ef∥mg．
ef⊥平面pbc．点f为ad的四等分点．
略。12.（i）∵e，f分别是pa，pc的中点，∴ef∥ac，而ac平面abc，ef平面abc，∴ef∥平面abc。又ef平面bef，平面bef平面abc=
ef∥，因此∥平面pac。……4分。
ii）如图，过b作ac的平行线bd，由（i）知，交线即为直线bd，且∥ac。
因为ab是⊙o的直径，所以ac⊥bc，于是⊥bc。已知pc⊥平面abc，则pc⊥，所以⊥平面pbc。连接be，bf，则⊥bf。
故∠cbf就是二面角的平面角，即∠cbf=。…7分。
连结cd，因为pc⊥平面abc，所以cd就是fd在平面abc内的射影，故∠cdf就是直线pq与平面abc所成的角，即∠cdf=。
又bd⊥平面pbc，有bd⊥bf，则∠bdf为锐角，∠bdf=。…9分。
于是在rt△cdf，rt△bdf，rt△bcf中，分别可得，，，
从而，即。……12分。
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