班级姓名成绩
一、选择题填空：（每题5分，共70分）
1.复数的共轭复数是。
2.设f()=n∈n)，则集合中元素的个数为。
3．设ｚ∈c，则方程2所表示的图形是（ ）
a．双曲线 b.线段 c.一条射线 d.两条射线。
4．设z=x+yi（），且的最小值是。
5．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（ ）
a.大前提错误 b.小前提错误 c.推理形式错误 d.以上都不是
6．若是不全相等的实数，求证：．
证明过程如下：，又不全相等，以上三式至少有一个“”不成立，将以上三式相加得，．
此证法是（ ）
．分析法综合法分析法与综合法并用反证法。
7．（文科）设则（ ）
a．都不大于 b．都不小于 c．至少有一个不大于 d．至少有一个不小于。
理科）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是。
8．（文科）在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形。
则第个三角形数为。
理科）用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为。
9．观察式子：，，则可归纳出式子为。
10.实数x、y满足（1–i）x+(1+i)y=2,则xy的值是1
11.复数z满足，那么z
12.设o是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是。
13．若复数z满足= i ,则的值为
14．已知的三边长为，内切圆半径为（用），则；类比这一结论有：若三棱锥的内切球半径为，则三棱锥体积。
三、解答题：90分。
15. （本小题14分）用分析法证明： 已知，求证。
16．（本小题14分）用反证法证明：
已知均为实数，且，求证：中至少有一个大于
17．（本小题15分）如图（1），在三角形中，，若，则；若类比该命题，如图（2），三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有什么结论？命题是否是真命题．
18. （本大题15分)（文科）若方程至少有一个实数根，求实数的值。
理科） （本小题14分）数列中， ，用数学归纳法证明：
19. (本大题16分）设。
1）求 | z1| 的值以及z1的实部的取值范围；
2）若，求证：为纯虚数。
19. (本大题16分）
文科）已知复数，并且z1 = z2，求的取值范围。
理科）是否存在常数a、b、c，使。
对一切正整数n都成立？用数学归纳法证明。
17 [解析]要证，只需证。
即，只需证，即证。
显然成立，因此成立。
20(1) 当n=1时， ,不等式成立。
2）假设当n=k时等式成立，即，则，
当n=k+1时， 不等式也成立。
综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立。
19解：命题是：三棱锥中，面，若点在三角形所在平面内的射影为，则有是一个真命题．
证明如下：在图（2）中，连结，并延长交于，连结，则有．
因为面，，所以．
又，所以．于是．
21【解题思路】从特殊入手，探求a、b、c的值，考虑到有3个未知数，先取n=1,2,3,列方程组求得，然后用数学归纳法对一切，等式都成立。
[解析] 把n=1,2,3代入得方程组，解得，猜想：等式对一切都成立。
下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由上面的探求可知等式成立。
2）假设n=k时等式成立，即则。
所以当n=k+1时，等式也成立。
综合（1）（2），对等式都成立。
名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式。
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