一、选择题：（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
二、填空题：（将答案填写在题中的横线上）
10.（易）已知为等差数列，，则其前项之和为___
11.（易） 已知向量，，设与的夹角为，则___
12.（易）在中，若，，则___
13.（易）平面上满足约束条件的点形成的区域为，则区域的面积为___设区域关于直线对称的区域为，则区域和区域中距离。
最近的两点的距离为。
13.（中）设为单位向量，的夹角为，则的最大值为___
14.（中）定义某种运算，的运算原理如右图所示。
设。则___
在区间上的最小值为___
14.（难）数列满足，，其中，．①当时若存在正整数，当时总有，则的取值范围是。
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（易）已知函数。
ⅰ）求函数的定义域； （若，求的值。
ⅰ）的定义域为。
16.（易）如图，在四边形中，，，
ⅰ）求的值；
ⅱ）求的面积。
17.（易）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动。 求选出的4名选手均为男选手的概率。
解：（ⅰ事件表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知。
18.（易）由世界自然**会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高。然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问。
对此，某新闻**进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值；
ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有人20岁以下的概率；
ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下：9.4，8.
6，9.2，9.6，8.
7，9.3，9.0，8.
2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率。
解：（ⅰ由题意得， 所以。
ⅱ）设所选取的人中，有人20岁以下，则，解得。 也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作a1，a2；b1，b2，b3，则从中任取2人的所有基本事件为 (a1,b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2 ,b1)，(a2 ,b2)，(a2 ,b3)，(a1, a2)，(b1 ,b2)，(b2 ,b3)，(b1 ,b3)共10个。
其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2 ,b1)，(a2 ,b2)，(a2 ,b3)，(a1, a2)，所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为。
ⅲ）总体的平均数为，
那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，
所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为。
19.（难）若函数对任意的，均有，则称函数具有性质。
ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由。
ⅱ）若函数具有性质，且（），求证：对任意有；
ⅰ）证明：①函数具有性质。
因为，， 即，此函数为具有性质。
函数不具有性质。
例如，当时，，
所以，， 此函数不具有性质。
ⅱ）假设为中第一个大于的值， 则，因为函数具有性质，所以，对于任意，均有，所以，所以， 与矛盾，
所以，对任意的有。
20.（难）若为集合且的子集，且满足两个条件：
对任意的，至少存在一个，使或。
则称集合组具有性质。
如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为。
ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的**，如果不是请说明理由；
集合组1：；
集合组2：.
ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此**分别写出集合；
ⅰ）解：集合组1具有性质。
所对应的数表为：
集合组2不具有性质。 因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质。
（注：**中的7行可以交换得到不同的**，它们所对应的集合组也不同）
21.（难）在数列和中，，，其中且，.
ⅰ）若，，求数列的前项和；
ⅱ）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；
解：（ⅰ因为，所以，， 由，得，所以， 因为且，所以， 所以，即是等差数列， 所以数列的前项和。
ⅱ）由已知，假设，，成等比数列，其中，且彼此不等， 则，
所以， 所以，若，则，可得，与矛盾；
若，则为非零整数，为无理数，所以为无理数，与是整数矛盾。
所以数列中的任意三项都不能构成等比数列。
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