高一数学暑假作业

一、选择题。

1（易）.已知数列为等差数列，且，，那么则等于。

ab）（cd）

2(易). 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的大致图像为。

a）（bcd）

3（易）.若右边的程序框图输出的是，则条件①可为。

ab． cd．

4（中）.已知平面上不重合的四点，，，满足，且，那么实数的值为。

a）（b）（c）（d）

5（中）.已知，那么的值为。

abcd）6（中）.已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是。

ab）（c）（d）

7（中）.已知函数的部分图象如图所示，则点p的坐标为。

ab） c）（d）

二、填空题。

8（易）．在等差数列中，若，则 42 ．

9（易）．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为 64.5 kg；若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) ,80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为。

11（中）.已知向量，，满足，且，则。

12（中）.已知，则．

13（中）.设且，则；

14（难）.设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为，则当时，的最小值为 32

15（难）.已知数列满足：，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则b5= 65 ；当n≥5时。

三、解答题。

16（中）.在△中，角，，的对边分别为，，分，且满足．

ⅰ）求角的大小；

ⅱ）若，求△面积的最大值．

解：（ⅰ因为，所以。

由正弦定理，得．

整理得．所以．

在△中，．所以，．

（ⅱ）由余弦定理，．

所以。所以，当且仅当时取“=”

所以三角形的面积．

所以三角形面积的最大值为．

17（中）.在△中，角，，的对边分别为，，．

ⅰ）求证：；

ⅱ）若△的面积，求的值．

证明：（ⅰ证明：因为，由正弦定理得，所以，在△中，因为，所以。

所以6分。ⅱ）解：由（ⅰ）知．

因为，所以．

因为△的面积，所以，．

由余弦定理。

所以13分。

18（中）.某高校在2023年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．

ⅰ)分别求第3，4，5组的频率；

ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面。

试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

ⅲ)在(ⅱ)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

解：(ⅰ由题设可知，第组的频率为，第组的频率为，第组的频率为．……3分。

ⅱ)第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为．

因为第，，组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：

第组：，第组：，第组：．

所以第，，组分别抽取人，人，人．……8分。

ⅲ)设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为．

则从六位同学中抽两位同学有：

共种可能．其中第组的位同学为，至少有一位同学入选的有：

共种可能，所以第组至少有一名学生被甲考官面试的概率为．……13分。

19（难）.对于，定义一个如下数阵：

其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．设．

ⅰ）当时，试写出数阵并计算；

ⅱ）若表示不超过的最大整数，求证：；

ⅰ）解：依题意可得，ⅱ）解：由题意可知，是数阵的第列的和，因此是数阵所有数的和．

而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．

对任意的，不超过的倍数有，，…

因此数阵的第行中有个１，其余是，即第行的和为．所以．

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