一、填空题。
1．集合a=, b=, 若ba，则a
1． 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是。
2．若，则角的取值范围是。
3．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种．
4．设，则的最小值是。
5.在的展开式中，x的幂指数是整数的各项系数之和是。
6. 如图△bcd与△mcd都是边长为2的正三角形，平面mcd平面bcd，ab平面bcd，，则点a到平面mbc的距离为。
7.设是正数数列，其前n项和sn满足。
则数列的通项公式为令，则的前n项和tn
8.若方程仅有一个实根，求的取值范围为。
二、解答题。
9．已知都是定义在上的函数，若存在正实数使得总成立，则称。
为在上的生成函数。若，.
1）判断函数是否为在上的生成函数，请说明理由；
2）记为在上的生成的一个函数，若，且的最大值为4，求。
10．设函数．（ⅰ证明：当时，；
ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
11．已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点。
ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
ⅱ）设直线与椭圆交于两点，△af1f2，△bf1f2的重心分别为。若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围。
12.设a为实数，记函数的最大值为g(a).
ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)；
ⅱ）求g(a)；
ⅲ）试求满足的所有实数a
高三数学竞赛训练题（一）答案。
3. [解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如。
表示第。一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”故不同的分配方法相当于个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．
每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”故有种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程。
的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．
综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．
4. 答案：4 解析：＝
当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立如取a＝,b＝满足条件。
6. 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力。
解法一：取cd中点o，连ob，om，则ob⊥cd，om⊥cd.又平面平面，则mo⊥平面，所以mo∥ab，a、b、o、m共面。
延长am、bo相交于e，则∠aeb就是am与平面bcd所成的角。ob=mo=，mo∥ab，mo//面abc，m、o到平面abc的距离相等，作ohbc于h，连mh，则mhbc，求得：
oh=ocsin600=,mh=,利用体积相等得：。
解法二：取cd中点o，连ob，om，则ob⊥cd，om⊥cd，又平面平面，则mo⊥平面。
以o为原点，直线oc、bo、om为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图。
ob=om=，则各点坐标分别为o（0，0，0），c（1，0，0），m（0，0，），b（0，-，0），a（0，-，2），设是平面mbc的法向量，则，由得；由得；取，则距离。
7. 解：（1）不是，假设是在上的生成函数，则存在正实数使得恒成立，令，得，与矛盾，所以函数一定不是在上的生成函数………5分。
2）设，因为。
所以，当且仅当且时等号成立，即时。
而，， 12分。
8.解： 9. （1）由及得，＝3 由得 （4分）故是以3为首项，2为公差的等差数列，故＝2n＋1 （8分）
2）＝2n＋1 ∴
tn＝ （15分）
11.解：因为直线经过，所以，得，又因为，所以，故直线的方程为。
ⅱ）解：设。
由，消去得。
则由，知，且有。
由于，故为的中点，由，可知。
设是的中点，则，由题意可知即。
即而。所以即。
又因为且所以。 所以的取值范围是。
12.解：（i）∵，要使有意义，必须且，即，且……①的取值范围是。
由①得：，∴
ii）由题意知即为函数，的最大值，∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；
2）当时，，，有=2；
3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时， ，若即时， ，若即时， 。
综上所述，有=。
iii）当时， ；当时，，，故当时， ；
当时，，由知： ，故；
当时，，故或，从而有或，要使，必须有，，即，此时， 。
综上所述，满足的所有实数a为：或。
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