一、填空题。
1．如果自然数a的各位数字之和等于5，那么称a为“吉祥数”，将所有吉祥数从小到大排成一列a1，a2，…，an．若an＝2012，则n
2．四面体abcd中，ab＝ac＝ad＝db＝5，bc＝3，cd＝4，该四面体的体积为。
3．设x1，x2，x3是方程x3—x＋1＝0的三个根，则x15＋x25＋x35的值为。
4．设集合s＝，a＝是s的子集，且满足a1＜a2＜a3，a3—a2≤5，那么满足条件的子集a的个数为。
5．方程2m·3n—3x＋1＋2m＝13的非负整数解(m，n
6．在长方体abcd－a1b1c1d1中，已知ac＝1，b1c＝，ab1＝p，则长方体的体积最大时p为。
7．已知数列定义如下：a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1—an，n为正整数．若am
2＋，则正整数m的最小值为。
8．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___种．
9．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是用数字作答）
10．马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有种。（用组合数符号表示）
11．设x，y，z为整数，且x＋y＋z＝3，x3＋y3＋z3＝3，则x2＋y2＋z2
12．在平面区域上恒有ax—2by≤2，则动点p(a，b)所形成平面区域的面积为。
13．若三角形的周长为31，三边长a，b，c均为整数，且a≤b≤c，则满足条件的三元数组。
a，b，c)的个数为。
14．过椭圆c：＋＝1上任一点p，作椭圆c的右准线的垂线ph（h为垂足），延长ph到点q，使|hq|＝λph|(λ1)．当点p在椭圆c上运动时，点q的轨迹的离心率的取值范围为。
二、解答题。
15．(1)如图，平行四边形abcd中，ab＝x，bc＝1，对角线ac与bd的夹角∠boc＝45°，记直线ab与cd的距离为h(x)．求h(x)的表达式，并写出x的取值范围．
2)如图，半径为1的圆o上有一定点m为圆o上的动点。在射线om上有一动点b，ab＝1，ob＞1．线段ab交圆o于另一点c，d为线段的ob中点．求线段cd长的取值范围．
16．已知正项数列满足＝4＋3，且a1＝1，a2＝8，求的通项公式．
17．给定实数a＞1，求函数f(x)＝的最小值．
18．正实数x，y，z满足9xyz＋xy＋yz＋zx＝4，求证：
1) xy＋yz＋zx≥；(2) x＋y＋z≥2．
19．已知正实数a，b满足a2＋b2＝1，且a3＋b3＋1＝m(a＋b＋1) 3，求m的最小值．
20．已知点e(m，n)为抛物线y2＝2px(p>0)内一定点，过e作斜率分别为k1，k2的两条直线交抛物线于a，b，c，d，且m、n分别是线段ab，cd的中点．
1)当n＝0且k1·k2＝—1时，求△emn的面积的最小值；
2)若k1＋k2＝λ(0，λ为常数)，证明：直线mn过定点．
1．38 解：设为吉祥数，则x1+x2+…+xm=5,由x1≥1和x2,…,xm≥0得。
x1-1)+x2+…+xm=4,所以， 为第个吉祥数。 为第个吉祥数。
由此得：一位吉祥数共1个，二位吉祥数共个，三位吉祥数共个，因以1为首位的四位吉祥数共个，以2为首位的前两个四位吉祥数为：
2003和2012.故n=1+5+15+15+2=38.
10． 问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。
11．3或57 解答：将代入得到。
因为都是整数，所以。
前两个方程组无解；后两个方程组解得。所以3或57。
12．4 平面区域的四个边界点（—1，—1），（1，1），（1，—1），（1，1）满足，即有。
由此计算动点所形成平面区域的面积为4。
14． 设p(x1, y1)，q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以h点的坐标为(3, y)。又∵hq=λph，所以，所以由定比分点公式，可得：，代入椭圆方程，得q点轨迹为，所以离心率e=
15．（1）解由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得。
2分）在△obc中，由余弦定理。
所以。由①，②得。
5分）所以
故。所以10分）
由③可得，，故．
因为，结合②，③可得。
解得（结合。
综上所述14分）
16．解在已知等式两边同时除以，得，所以。
令，则，即数列是以＝4为首项，4为公比的等比数列，所以。
所以，即。
于是，当时，因此。
17．解．当时，，此时。
且当时不等式等号成立，故．
6分）当时，，此时“耐克”函数在内是递减，故此时。
综上所述14分）
18．证 （1）记，由平均不等式。
于是。所以。
而，所以，即，从而．
（2）又因为。所以。故。
19．解令，，则。
令，则，且．
于是． 因为函数在上单调递减，所以．
因此，的最小值为。
20．解所在直线的方程为，其中，代入中，得。
设，则有，从而。
则．所在直线的方程为，其中，同理可得．
1）当时，，，
又，故，于是△的面积。
当且仅当时等号成立．
所以，△的面积的最小值为。
2），所在直线的方程为，即。
又，即，代入上式，得，即．
当时，有，即为方程的一组解，所以直线恒过定点．
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