数学分析试题（二年级第一学期）3
一叙述题（每小题10分，共30分）
1． 叙述第一类曲面积分的概念。
2． 叙述stokes公式的内容。
3． 叙述dirichlet引理及其等价形式。
二讨论题（每小题10分，共20分）
1． 讨论函数。
在任意有界闭区域上的可积性。
2． 试确定函数。
的连续范围。
三计算题（每小题10分，共30分）
1．设四边形各边长为定值（分别为），求其最大面积，并且指出此时四边形的几何特性。
2．求球面在圆柱外那部分曲面的面积。
3． 将下列函数展开成fourier级数。
并利用其展开式求。
四证明题（每小题10分，共20分）
1． 若。1） 积分收敛，2） 函数有界，并且关于是单调的，则积分一致收敛。
2． 设有半径为的球面，其球冠的高为，证明球冠的面积。
数学分析试题（二年级第一学期）答案3
一叙述题（每小题10分，共30分）
1．设曲面为有界光滑（或分片光滑）曲面，函数在上有界。将曲面用一个光滑曲线网分成片小曲面，并记为的面积。在每片上任取一点，作和式。
如果当所有的小曲面的最大直径为趋于零时，这个和式的极限存在，且与小曲面的分法和点的取法无关，则称此极限值为在曲面上的第一类曲面积分，记为。
2．设是光滑曲面，其边界为分段光滑闭曲线。若函数，和在其边界上上具有连续偏导数。则成立。
其中取诱导正向。
3．设函数在单调，则成立。
等价形式： =
二讨论题（每小题10分，共20分）
1． 首先，函数在任意有界闭区域上是不可积的。下面证明这一点。
任给区域的分割，将分成个小区域：，设它们的面积分别是：.在小区域上任取一点。
若与都是有理数，有，则积分和。
其中是区域的面积。
若与至少有一个是无理数，有，则积分和。
因而，当时，积分和不存在极限，即函数在任意有界闭区域上是不可积的。
2．注意到可能为奇点，将积分写成。
因为当时~,所以只有当即时才收敛；而显然只有当时才收敛。所以的定义域为。
现在说明在其定义域上连续。为此只要说明在任意闭区间上，连续即可。
对任意闭区间，由于。
且收敛。因此由weierstrass判别法，关于一致收敛，因此被积函数在上的连续性知，在上连续。
由于，且收敛，所以由weierstrass判别法，关于一致收敛，因此被积函数在上的连续性知，在上连续。
综上所述，在其定义域上连续。
三计算题（每小题10分，共30分）
1． 设 则有
因而。于是，此时得最大面积是并且四边形为圆的内接四边形。
2． 已知球面表面积为，设该球面在一个圆柱内的表面积为，则所求球面面积为。而。
因此。3． 易知函数是按段光滑的，因此可以展开成fourier级数，计算fourier级数如下：
所以当时，当时，由于所以。
当或时，由于所以。
于是即。四证明题（每小题10分，共20分）
1． 证明设则由1）知：对任给，总存在数，使得当时，就有而。
所以积分在对应的域内一致收敛。
2. 证明设球面的方程是于是，球冠的面积。
这里。设则有。
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