1.已知函数在时取得极小值．
1）求实数的值；
2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由．
解】（1由题意知，解得或2分。
当时，易知在上为减函数，在上为增函数，符合题意；
当时，易知在上为增函数，在，上为减函数，不符合题意．
所以，满足条件的5分。
2）因为，所以7分。
若，则，因为，所以9分。
设，则，所以在上为增函数．
由于，即方程有唯一解为11分。
若，则，即或．
ⅰ）时，由①可知不存在满足条件的13分时，，两式相除得．
设，则，在递增，在递减，由得，此时，矛盾．
综上所述，满足条件的值只有一组，且16分。
2.已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．
令．1）求 g(x)的表达式；
2）若函数在上的最小值为0，求的值；
3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．
解：（1）设，于是。
所以又，则．所以． （4分）
则．令，得（舍5分）
当》1时，当时，．
令，得7分）
当时，≥0在上恒成立，在上为增函数，当时，．
令，得（舍）．
综上所述，所求为9分）
3）记，则据题意有有3个不同的实根，有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．
ⅰ）有2个不同的实根，只需满足；
ⅱ）有3个不同的实根，因，令，得或，当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；
当即时，不符合题意，舍；
当即时，在处取得极大值，所以；因为（ⅰ）要同时满足，故． （12分）
下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；
若存在使得，由，即，得，当时，，不符合，舍去；
当时，既有 ①；
又由，即 ②；
联立①②式，可得；
而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．
综上，当时，函数有5个不同的零点16分）
3.已知函数。
1）当时，求函数的极值；
2）设定义在d上的函数在点处的切线方程为。当时，若在d内恒成立，则称p为函数的“转点”.当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出“转点”的横坐标；若不存在，请说明理由。
20.解：（）当时，
当，当，所以函数在和单调递增，在单调递减，所以当时，函数取到极大值为，当时，函数取到极小值为-2. …6分）
）当时，由函数在其图像上一点处的切线方程，得。设。且。
10分）当时，在上单调递减，所以当时，；
当时，在上单调递减，所以当时，；
所以在不存在 “转点”. 13分）
当时，，即在上是增函数。
当时，当时，即点为“转点”.
故函数存在“转点”，且2是“转点”的横坐标。 …16分）
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