课时作业(十四) [第14讲用导数研究函数单调性与极值]
时间：45分钟分值：100分]
1．函数f(x)＝x3－x的单调增区间为。
2．如果函数y＝f(x)的图象如图k14－1，那么其导函数y＝f′(x)的图象可能是图k14－2中的。
填序号)图k14－1 图k14－2
3．函数f(x)＝x3－3x2＋7的极大值是。
4．若函数y＝lnx－ax的增区间为(0,1)，则a的值是___
5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是___
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a
7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则bc
8．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图k14－3，则该函数有___个极大值；__个极小值．
图k14－3
9．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞上是单调增函数，则a的最大值是___
10．[2011·福建卷改编] 若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于___
11．[2012·苏北四市一调] 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是___
12．设f(x)，g(x)是r上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a(1)f(x)g(b)>f(b)g(x)；(2)f(x)g(a)>f(a)·g(x)；(3)f(x)g(x)>f(b)g(b)；(4)f(x)g(x)>f(b)g(a)．
13．(8分)已知函数f(x)＝，x∈[0,1]，求f(x)的单调区间．
14．(8分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－时都取得极值．
1)求a，b的值；
2)若f(－1)＝，求f(x)的单调区间和极值．
15．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax－1.
1)若f(x)在实数集r上单调递增，求实数a的取值范围；
2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
16．(12分)已知函数f(x)＝|ax－2|＋blnx(x>0，实数a，b为常数)．
1)若a＝1，f(x)在(0，＋∞上是单调增函数，求b的取值范围；
2)若a≥2，b＝1，求方程f(x)＝在(0,1]上解的个数．
课时作业(十四)
基础热身】1.， 解析] 由f′(x)＝3x2－1>0得，x∈∪，故单调增区间为，.
2．(1) [解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，所以只有(1)正确．
3．7 [解析] 由f′(x)＝3x2－6x易得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞0)，(2，＋∞单调递减区间为(0,2)，故极大值为f(0)＝7.
4．1 [解析] 由条件可知，y′＝－a>0的解集为(0,1)，代入端点值1，可知a＝1.
能力提升】5．(2，＋∞解析] f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.
6．5 [解析] ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，则a＝5.
7．－ 6 [解析] 因为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题设知－18．1 1 [解析] x1、x4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x2与x3是变号零点，因此它们是极值点，且x2是极大值点，x3是极小值点．
9．3 [解析] f′(x)＝3x2－a，在[1，＋∞上，f′(x)≥0恒成立，则3x2－a≥0，a≤3x2.又g(x)＝3x2在[1，＋∞上递增，故a≤3，a的最大值为3.
10．9 [解析] f′(x)＝12x2－2ax－2b，f(x)在x＝1处有极值，f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，化简得 a＋b＝6，a>0，b>0，ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时，ab有最大值，最大值为9.
11．[－2，－1] [解析] 因为f′(x)＝3mx2＋2nx，由题意得所以。
所以f′(x)＝3x2＋6x，又f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以f′(x)＝3x2＋6x≤0在区间[t，t＋1]上恒成立，所以解之得t∈[－2，－1]．
12．(3) [解析] ∵f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′0，∴f(x)g(x)为减函数，又∵af(x)g(x)>f(b)g(b)．
13．[解答] 对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
所以，当x∈时，f(x)是减函数；当x∈时，f(x)是增函数．
14．[解答] (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题意，得x＝1和x＝－为f′(x)＝0的解，－a＝1－，＝1×，a＝－，b＝－2.
2)由(1)知f(x)＝x3－x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，得c＝1，f(x)＝x3－x2－2x＋1，f′(x)＝3x2－x－2.
f′(x)的变化情况如下：
f(x)的递增区间为和(1，＋∞递减区间为。
当x＝－时，f(x)有极大值，f＝；
当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－
15．[解答] (1)f′(x)＝3x2－a，故3x2－a≥0在r上恒成立，a≤0.
2)f(x)在(－1,1)上单调递减，则3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立，a≥3.
16．[解答] (1)a＝1，则f(x)＝|x－2|＋blnx＝
当0由条件，得－1＋≥0恒成立，即b≥x恒成立．
b≥2.当x≥2时，f(x)＝x－2＋blnx，f′(x)＝1＋，由条件，得1＋≥0恒成立，即b≥－x恒成立．
b≥－2.f(x)的图象在(0，＋∞上单调递增，不间断．
综合①，②得，b的取值范围是b≥2.
2)令g(x)＝|ax－2|＋lnx－，即g(x)＝
当0g′(x)＝－a＋＋，0，则g′(x)>－a＋＋＝0，即g′(x)>0，∴g(x)在上单调递增．
当x≥时，g(x)＝ax－2＋lnx－，g′(x)＝a＋＋>0，g(x)在上是单调增函数．
g(x)的图象在(0，＋∞上不间断，g(x)在(0，＋∞上是单调增函数．
g＝ln－，而a≥2，∴ln≤0，则g<0，g(1)＝|a－2|－1＝a－3，当a≥3时，∵g(1)≥0，∴g(x)＝0在(0,1]上有惟一解，即方程f(x)＝解的个数为1个；
当2≤a<3时，∵g(1)<0，∴g(x)＝0在(0,1]上无解，即方程f(x)＝解的个数为0个．
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