课时作业(十) [第10讲幂函数与函数的图象]
时间：45分钟分值：100分]
1．下列命题：
幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；
幂函数的图象不可能在第四象限；
n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；
幂函数y＝xn，当n＞0时是增函数；
幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的是___
2．在幂函数y＝x4，y＝x，y＝x－3，y＝x－，y＝x－2中，是奇函数的有是偶函数的是没有奇偶性的是___
3．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点向___平移3个单位长度，再向___平移___个单位长度．
4．已知函数f(x)是定义在(－3,3)上的偶函数，当0≤x<3时，f(x)的图象如图k10－1所示，那么不等式x·f(x)<0的解集是___
图k10－1
5．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是___
6．[2012·泰州调研] 函数f(x)＝的图象关于___对称．
7．(1)函数y＝(x2－2x)－的定义域是___
2)函数y＝(1－x2)的值域是___
8．把函数y＝f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是___
9．幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为___
10．函数y＝2x－x2的图象大致是___
图k10－2
11．已知定义在[0，＋∞上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图k10－3所示，则不等式f(x)·g(x)>0的解集是___
图k10－3
12．[2012·南京一模] 若直角坐标平面内两点p、q满足条件：①p、q都在函数f(x)的图象上；②p、q关于原点对称，则称点对(p，q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(p，q)与(q，p)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”有___个．
13．(8分)已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：
1)正比例函数；(2)反比例函数；
3)二次函数；(4)幂函数．
14．(8分)作出下列函数的图象．
1)y＝|x2－2x－1|； 2)y＝x2－2|x|－1.
15．(12分)已知函数y＝.
1)求函数的定义域、值域；
2)判断函数的奇偶性；
3)求函数的单调区间．
16．(12分)曲线c的方程是y＝x3－x，将c沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(t≠0)个单位长度后得到曲线c1.
1)写出曲线c1的方程；
2)证明：曲线c与c1关于点a对称；
3)如果曲线c与c1有且仅有一个公共点，证明：s＝－t.
课时作业(十)
基础热身】1．②⑤解析] 幂函数y＝xn，当n<0时，不过(0,0)点，①错误；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y＝x2在(－∞0)上是减函数，(0，＋∞上是增函数，④错．
2．y＝x－3 y＝x4，y＝x－2 y＝x，y＝x－
3．左下 1 [解析] 函数y＝lg可化为y＝lg(x＋3)－1.
4．(－3，－1)∪(0,1) [解析] 偶函数的图象关于y轴对称，画图可知当x<0时，f(x)>0的解集为(－3，－1)；当x>0时，f(x)<0的解集是(0,1)．所以原不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
能力提升】5．(－0) [解析] 设幂函数的解析式为y＝xn，代入点，得n＝－2，故单调递增区间是(－∞0)．
6．y轴 [解析] f(－x)＝＝f(x)，f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．
7．(1)(－0)∪(2，＋∞2)[0,1] [解析] (1)函数可化为根式形式，即可得定义域．(2)这是复合函数求值域问题，先求定义域为x∈[－1,1]，求内层函数1－x2的值域为[0,1]，再求外层函数的值域y∈[0,1]，即为所求函数的值域．
8．y＝(x－1)2＋3 [解析] 把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2的图象，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3的图象．
9．1或2 [解析] 因为函数是幂函数，所以m2－3m＋3＝1，∴m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2.
当m＝1或m＝2时，函数的图象都不经过原点，所以m＝1或m＝2.
10．① 解析] 因为当x＝2或4时，2x－x2＝0，所以排除②、③当x＝－2时，2x－x2＝－4<0，故排除④，所以选①.
11. [解析] 由题图可知，当00，g(x)>0；
当0，g(x)<0；
当1当x>2时，f(x)>0，g(x)>0.
因此f(x)·g(x)>0的解集是。
12．2 [解析] 由题意，在函数f(x)＝上任取一点a(a，b)，则该点关于原点对称的点b(－a，－b)在函数f(x)＝2x2＋4x＋1上，故b＝，－b＝2a2－4a＋1，所以有＝－2a2＋4a－1(a≥0)．
令g(x)＝(x≥0)，h(x)＝－2x2＋4x－1(x≥0)，由图象可知：f(x)的“友好点对”有2个．
13．[解答] (1)若函数f(x)为正比例函数，则m＝1.
2)若函数f(x)为反比例函数，则m＝－1.
3)若函数f(x)为二次函数，则m＝.
4)若函数f(x)为幂函数，则。
m＝－1±.
14．[解答] (1)当x2－2x－1≥0时，y＝x2－2x－1；
当x2－2x－1<0时，y＝－x2＋2x＋1.
作图步骤：①作出函数y＝x2－2x－1的图象；②将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折(上方部分不变)，即得y＝|x2－2x－1|的图象(如图①)．
2)当x≥0时，y＝x2－2x－1；当x<0时，y＝x2＋2x－1.作图步骤：①作出y＝x2－2x－1的图象；
y轴右边部分不变，再将右边部分以y轴为对称轴向左翻折，即得y＝x2－2|x|－1的图象(如图②)．
15．[解答] 这是复合函数问题，利用换元法．
令t＝15－2x－x2，则y＝.
1)由15－2x－x2≥0，得－5≤x≤3，故函数的定义域为[－5,3]，t＝16－(x＋1)2∈[0,16]，函数的值域为[0,2]．
2)∵函数的定义域为[－5,3]，不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数．
3)∵函数的定义域为[－5,3]，对称轴为x＝－1，x∈[－5，－1]时，t随x的增大而增大；
x∈(－1,3]时，t随x的增大而减小．
又∵函数y＝在t∈[0,16]时，y随t的增大而增大，函数y＝的单调增区间为[－5，－1]，单调减区间为(－1,3]．
16．[解答] (1)曲线c1的方程为y＝(x－t)3－(x－t)＋s.
2)证明：在曲线c上任意取一点b1(x1，y1)，设b2(x2，y2)是b1关于点a的对称点，则有＝，＝所以x1＝t－x2，y1＝s－y2.
代入曲线c的方程，得x2，y2的方程：s－y2＝(t－x2)3－(t－x2)．
即y2＝(x2－t)3－(x2－t)＋s，可知点b2(x2，y2)在曲线c1上．
反过来，同样证明，在曲线c1上的点关于点a的对称点在曲线c上．
因此，曲线c与c1关于点a对称．
3)证明：因为曲线c与c1有且仅有一个公共点，所以方程组有且仅有一组解，消去y，整理得3tx2－3t2x＋(t3－t－s)＝0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，δ＝9t4－12t(t3－t－s)＝0，即得t(t3－4t－4s)＝0，t≠0，∴s＝－t.命题得证．
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