高三数学专题练习——函数。
1.设，，令，若关于的方程有且仅有四个不等实根，求的取值范围为。
解：关于对称，且在上为定值，故方程等价于或或。
对于，解得，若解集是一个区间，则不符题意；若解集为离散的点，则满足，且，这含在前两种情况中。于是只需令，各有两根，且交集为空。，又为空集，得到，从而。
当，的根相等时，得到。
2. 已知函数．
1）若，解方程；
2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
3）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围。
解：（1）当时，有。
当时，，解得：或。
当时，恒成立 ∴方程的解集为：或。
若在上单调递增，则有，解得：
3）设，则。
即不等式对一切实数恒成立。
当时，单调递减，其值域为： ，恒成立
当时，∵，得，∴ 综上。
3. 设函数，.
ⅰ）若，当时，恒成立，求的取值范围；
ⅱ）若不等式在区间上无解，试求所有的实数对。
解：（ⅰ由，即。当时，恒成立；
当时，令，得。
同理当时，令，得
综上：有。ⅱ）要使在区间上无解，必须满足。
即；所以，即，又。
两式相加可以得到。
的对称轴为，最小值为；
因为，则的对称轴在区间内，要使在区间上无解，还要满足，即，可以得到。
解不等式组。
可以解得：，代入不等式组，得到。
所以满足题意的是实数对只有一对：.
4, 设函数()．
ⅰ）试讨论的奇偶性；
ⅱ）存在实数对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值及此时的值．
解：(ⅰ当时，为奇函数
当时，，不是奇函数，
又为偶函数恒成立，不恒成立，所以也不是偶函数。
所以：当时，为奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数。
因为对任意时，恒成立，且。
所以当，即时，在上为增函数。
由恒成立得，
令，则在上为增函数。
当即时，在上单调递减，在上单调递增，而。
由恒成立得，恒成立，在上为增函数。
当即时，在上为减函数，在上为增函数，而。
由恒成立得，恒成立，此时。
当即时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，而。
当时，由得，此时。
不合舍去）当时，，此时。
由，得。综上得，的最大值为6，此时。
5.已知函数与函数的定义域均相同。如果存在实数使得，那么称为函数的生成函数，其中称为生成系数。
1）是，在r上生成的二次函数，若为偶函数，求；
2）已知是的生成函数，两个生成系数均为正数，且函数图象的最低点坐标为。
i) 求的解析式。
ii）已知正实数满足，.问是否存在最大的常数，使不等式对满足条件的任意恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由。
解：（ⅰ解：设，则，
因为为一个二次函数，且为偶函数，所以二次函数的对称轴为y轴，即，所以，则，则。
2） i）由题意，设两个生成系数为正数则，由基本不等式得，于是当时取得最小值。由题意得：
解得，所以
ii)假设存在最大的常数，使恒成立。
设。令，则，即，同时，.
而在上单调递减，，故存在最大的常数。
6.设函数y=f（x）的定义域为d，值域为b，如果存在函数x=g（t），使得函数y=f（g（t））的值域仍然是b，那么，称函数x=g（t）是函数y=f（x）的一个γ变换．
1）判断函数x=t2﹣2t+3，t∈r是不是f（x）=2x+b，x∈r，的一个γ变换？说明你的理由；
2）设f（x）=log2x的值域b=[1，3]，已知x=g（t）=是y=f（x）的一个γ变换，且函数f（g（t））的定义域为r，求实数m，n的值；
3）设函数y=f（x）的定义域为d，值域为b，函数g（t）的定义域为d1，值域为b1，写出x=g（t）是y=f（x）的一个γ变换的充分非必要条件（不必证明）．
解：（1）函数f（x）=2x+b，x∈r，f（x）的值域为r，x=t2﹣2t+3=（t﹣1）2+2≥2，y=f（g（t））=2[（（t﹣1）2+2]+b≥4+b，所以，x=g（t）不是f（x）的一个γ变换；
2）f（x）=log2x的值域为[1，3]，由1≤log2x≤3知2≤x≤8，即f（x）=log2x定义义域为[2，8]，因为x=g（x）是f（x）的一个γ变换，且函数f（g（t））的定义域为r，所以，x=g（t）=，t∈r的值域为[2，8]，则2≤≤8，2（t2+1）≤mt2﹣3t+n≤8（t2+1），所以，恒有，且存在t1，t2∈r使两个等号分别成立，于是，解得或，3）设函数f（x）的定义域为d，值域为b，函数g（t）的定义域为d1，值域为b1，则x=g（t）是f（x）的一个γ变换的充分非必要条件是“d=b1”． 条件的不必要性的一个例子是．f（x）=x2，∵d=r，b为[0，+∞g（t）=2t﹣1，d1=r，b1=（﹣1，+∞此时db1，但f（g（t））=2t﹣1）2的值域仍为b[0，+∞即g（t）=2t﹣1x∈r，x∈r是f（x）=x2，（x∈r）的一个等值域变换．
7.集合a是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于任意的m，n∈[﹣1，1]，且m≠n，都有|f（m）﹣f（n）|≤3|m﹣n|．
1）判断函数f1（x）=x2是否在集合a中？并说明理由；
2）设函数f（x）=ax2+bx，若对于任意的m，n∈[﹣1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，试求2a+b的取值范围，并推理判断f（x）是否在集合a中？
3）在（2）的条件下，若f（﹣2）=6，且对于满足（2）的每个实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[﹣2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．
解：（1）在集合a中．理由如下：设m，n∈[﹣1，1]，且m≠n，则。
f1（m）﹣f1（n）|=m2﹣n2|=|m+n）（m﹣n）|=m+n||m﹣n|
（|m|+|n|）|m﹣n|≤2|m﹣n|≤3|m﹣n|
在集合a中…4分。
2）∵对于任意的m，n∈[﹣1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，令u=m+n∈[﹣2，2]，则|au+b|≤3恒成立，|au+b|max≤3
|au+b|≤|au|+|b|≤|2a|+|b| ∴2a|+|b|≤3 ∴|2a+b|≤|2a|+|b|≤3 即2a+b∈[﹣3，3]
当m，n∈[﹣1，1]且m≠n时，有|f（m）﹣f（n）|=am2+bm）﹣（an2+bn）|=a（m+n）+b||m﹣n|
又∵对任意的m，n∈[﹣1，1]，|a（m+n）+b|≤3恒成立，|f（m）﹣f（n）|=a（m+n）+b||m﹣n|≤3|m﹣n|成立，f（x）=ax2+bx在集合a中…9分。
（3）由f（﹣2）=6，可知b=2a﹣3 又因为2a+b∈[﹣3，3]
2a+b=4a﹣3∈[﹣3，3]∴a∈[0，]
①当a=0时，b=﹣3，f（x）=﹣3x是减函数，|f（﹣2）|=f（2）|=6∴t=2
②当时，f（x）=ax2+（2a﹣3）x
该函数表示开口向上的抛物线，对称轴，，最小值为。
ⅰ）当时，即 4a2﹣36a+9≤0，解得。
若|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]恒成立，此时t的最大值为f（x）=6的解中较大的根，所以t=
ii）当﹣时，即4a2﹣36a+9＞0，解得0＜a＜
此时，令f（x）=﹣6，解得x=，若|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]上恒成立，则t为其中较小的根，t=
综上所述，8.定义函数y=f（x），x∈d（d为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的y=f（x），x∈d的模．若模存在最大值，则称之为函数y=f（x），x∈d的长距；若模存在最小值，则称之为函数y=f（x），x∈d的短距．
1）判断函数是否存在长距与短距，若存在，请求出；
2）判断函数是否存在长距与短距，若存在，请求出；
3）对于任意x∈[1，2]都存在实数a使得函数的短距不小于2，求实数a的取值范围？
解：（1）设（当且仅当x=±1取得等号），f1（x）短距为，长距不存在．
2）设，v（x）min=v（1）=1v（x）max=v（﹣5）=5，f2（x）短距为1，长距为5．
3）设，函数的短距不小于2
即x2+2x|x﹣a|≥4对于x∈[1，2]始终成立：
当a＞2时：对于x∈[1，2]始终成立，∴a≥，当1≤a≤2时：取x=a即可知显然不成立。
当a＜1时：对于x∈[1，2]始终成立 ∴a≤﹣
综上所述：a的范围是。
9.已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠﹣d）
1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（﹣1，3）成中心对称，求b，d的值；
2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；
3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（﹣2）=﹣且对任意x∈[1，+∞时，不等式f（mx）+mf（x）<0恒成立，求负实数m的取值范围．
解（1）∵a=0，∴．
类比函数的图象，可知函f（x）的图象的对称中心是（﹣d，b）．
又∵函f（x）的图象的对称中心（﹣1，3），∴
2）由（1）知，．依据题意，对任x0∈[3，10]，恒f（x0）∈[3，10]．
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