14一次函数

变量与函数。

问题：（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?

(2)在一根弹簧的下端悬挂中重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量 m(单位：kg)的式子表示受力后弹簧长度l（单位：

cm）？

（3）要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？圆的面积为20cm2呢？怎样用含圆面积s的式子表示圆的半径r?

（4）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化。记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为sm2,怎样用含x的式子表示s？

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量（variable）.数值始终不变的量为常量。

指出上述问题中的变量和常量。

例1：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？

1) 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积s（m2）与一边长x(m)之间的关系式。

2) 购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系；

3)运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系。

4)银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x元本金与所得的本息和y（元）之间的关系。

5) 某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式。

一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

例1 判断下列变量之间是不是函数关系：

1）长方形的宽一定时，其长与面积；

2）等腰三角形的底边长与面积；

3）某人的年龄与身高；

例2 一辆汽车的油箱中现有汽油50l，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：l）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1l/km。

1）写出表示y与x的函数关系式。；（2）指出自变量x的取值范围。

3）汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？

解：（1）y=50-0.1x

2）0≤x≤500

3）x=200,y=30

函数图象一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。

例1 下面的图象反映的过程是小明从家去菜地浇水，有去玉米地锄草，然后回家。其中x表示时间，y表示小名离家的距离。

根据图象回答问题：

4）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？；

5）小明给菜地浇水用了多少时间？

6）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？

7）小明给玉米锄草用了多少时间？

8）玉米地离小名家多远？小明从玉米地走回家的平均速度是多少？

例2 在下列式子中，对于x的每一确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：

1）y=x+0.5; (2)y= (x>0)

解：信息1：

函数的表示方法为列表法、解析式法和图形法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。

例1 一水库的水位在最近5小时内持续**，下表记录了这5个小时水位高度。

1) 由记录表推出这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；

2) 据估计这种**的情况还会持续2个小时，**再过2个小时水位高度将达到多少米？

解：（1）y=0.05t+10 (0≤t≤7)

2）当t=5+2=7时，y=0.05t+10=10.35

预计2小时后水位将达到10.35米。

例2 已知函数y=2x-3，求：

1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标；

2）x取什么值时，函数值大于1；

正比例函数。

一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．

１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？

２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？

３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？

我们来共同分析：

一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：

25600÷（30×4+7）≈200（km）

若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：

y=200x（0≤x≤127）

这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即。

y=200×45=9000（km）

以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．

例1 １．圆的周长l随半径r的大小变化而变化．

２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积v（cm3）的大小变化而变化．

３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．

４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度ｔ（℃随冷冻时间t（分）的变化而变化．

解：１．根据圆的周长公式可得：l=2r．

２．依据密度公式p=可得：m=7．8v．

３．据题意可知： h=0．5n．

４．据题意可知：t=-2t．

我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样．

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数（proportional func-tion），其中k叫做比例系数．

画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．

１．y=2x ２．y=-2x

．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：

画出图象如图（1）．

．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：

画出图象如图（2）．

３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线．

不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第。

一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第。

二、四象限．

例2 1、在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．

1）、y=x （２y=-x

比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x的图象从左向右上升，经过。

三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-x的图象从左向右下降，经过。

二、四象限，即随x增大y反而减小．

总结正比例函数解析式与图象特征之间的规律：

正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>0时，图象经过。

三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过。

二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．

经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？

经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．

画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．

2、用你认为最简单的方法画出下列函数图象：

（１）y=x （２y=-3x

解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：

例3 汽车由天津驶往相距120千米的北京，ｓ（千米）表示汽车离开天津的距离，t（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示。

１．汽车用几小时可到达北京？速度是多少？

２．汽车行驶１小时，离开天津有多远？

３．当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？

解法一：用图象解答：

从图上可以看出4个小时可到达．

速度＝=30（千米／时）．

行驶１小时离开天津约为30千米．

当汽车距北京20千米时汽车出发了约3．3个小时．

解法二：用解析式来解答：

由图象可知：ｓ与t是正比例关系，设s=kt，当t=4时s=120

即120=k×4 k=30

∴s=30t．

当t=1时 s=30×1=30（千米）．

当s=100时 100=30t t=（小时）．

以上两种方法比较，用图象法解题直观，用解析式解题准确，各有优特点．毛。

一次函数问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y与x的关系．

分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为：

y=15-6x （x≥0）

当然，这个函数也可表示为： y=-6x+15 （x≥0）

当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）

14一次函数

14 一次函数

分式一次函数

作业一次函数

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