一．判断题。
1． 可测的充要条件是可测。
2．所有无理数构成的集合是可数集。
3．如果在上单调减少，则在上可测。
4．直线上任意非空开集均可表示为至多可数个两两不交的开区间的并。
5．若是不可数集，则。
6．若函数在上黎曼可积，则至多有可数个间断点。
7．可数集合的任意并是可数集合。
8．中既开且闭的集只有空集与。
9．如果函数是上的单调函数，则在上是黎曼可积。
10.若，则是可测集。
11.定义上的狄利克雷函数。
在上几乎处处连续。
12.集合上的常值函数必可积。
13、区间[0，1]是一个可数集合。
14、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。
15、rieman可积函数一定是lebegus可积函数。
16、[0，1]上的无理数是一个可数集合。
17、有界可测集合上的连续函数一定是可测函数。
18、有界区间上rieman可积函数一定是lebegus可积函数。
二．1．证明：
2．试找出使和之间一一对应的一种方法。
解：令，做，使得。
其它处， 3．试列出使集合和一一对应的方法。
令表示（0,1）上的全体有理数，则是[0,1]上的全体有理数，且有。
如下定义一个函数。
则这是满足条件的一一对应。
4证明：证明：
三．证明题。
1. 设是上几乎处处有限的可测函数列，，而几乎处处收敛于有限函数，则对任意的，存在常数与可测集，，使在上，对一切，有。
2. 设是上的实值连续函数，证明：，集合是闭集。
证明：证明是开集，事实上，对任意，则，由连续函数的局部保号性，存在，使得对一切的，有，即，所以x是内点，从而是开集。
3. 设在可积，则对任何，必存在上的连续函数，使得。
4. 设在上，且几乎处处于上成立， 试证在上几乎处处成立。
证明：利用黎次定理，由在上，得到存在子列使得几乎处处成立，在利用控制性，所以在上几乎处处成立。
5. 设是的个可测子集，假定中的任一点至少属于这个集合中的个，证明：必有一个集，它的测度不小于。
证明：设是的特征函数，。由题设知，在上，。因此，令，则有 ，从而，即为所求。
6.设在cantor集上定义函数，而在的余集中长为的构成区间上定义。试证在上可积，并求出积分值。
证明：f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。设是的余集中长为的构成区间之并，则，因此，所以可积，且积分值为3。
7. 设在上，且几乎处处成立， 则几乎处处有收敛于。
证明因为，则存在，使在上收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到， 且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。
即除去一个零集外，收敛于，就是 收敛到。
8. 试从，，证明。
证明：在时，，由l逐项积分定理，另一方面。
因此可得：9. 证明：
证明：设于是。
（1）是上的可测函数列；
（3）当时，；从而。
现令。则因此f（t）可积。
所以。10. 设，在上可积。如果对于任何有界可测函数，都有。
证明：在上几乎处处成立。
证明：取，则有所以在上几乎处处成立，从而在上几乎处处成立。
11. 设为上非负可积函数列，若。
证明：。12. 证明：
证明：由于当。
证毕。13．设是直线上的一个有界集合，，则对任意小于的正数，存在的子集，使得。
证明：设，则。令，则是上的连续函数。
事实上，当， 且时，于是当时，即是右连续的。类似的方法可证明时，，所以是[a,b]上的连续函数。
又因为 因此对任意正数c，，存在使。即。令。则。
14设为全集，证明：
证明：对任意的，有当且仅当不属于所有的
当且仅当属于所有的，当且仅当，所以，。
15设是上的实值连续函数，证明对任意的常数，集合。
是一个闭集。
证明：任取属于，则存在一个数列，且满足，因为。
所以有。从而属于，即是一个闭集。
16设是一些互不交的可测集，，证明：
证明：因为是一些互不交的可测集，所以。
17设是上的实值连续函数，证明对任意的常数，集合。
是一个开集。
证明：任取属于，则存在一个数列，且满足，因为。所以有。
从而属于，即是一个闭集，而又因为。
所以是一个开集。
实变函数》形成性作业
作业 2 第2章维空间中的点集。第3章勒贝格测度。一 单项选择题。1.设，若对的任何邻域，则是的 a 内点b 聚点。c 边界点d 孤立点。2.设是中的无理点集，则 ab c 是不可测集d 是闭集。3.设，若，则 a 是有限集b 是可列集。c 是有界集d 以上都不对。4.设是任一可测集，则 a 是开集...
实变函数》形成性作业
作业 4 第5章勒贝格积分。一 单项选择题。1.设，是上处处有限的可测函数，则 a 在上勒贝格可积。b 在上黎曼可积。c 是上的简单函数。d 以上都不对。2.设，与都在上可积，则下列结论中正确的是 a 在上可积。b 在上可积。c 在上可积。d 在上可积。3.设，其中是康托集，则 ab cd 4.设是...
《复变函数》作业
一 单项选择题。1 包含了单位圆面的区域是。a.b.c.d.2 设，则。a.b.c.d.3 设为正向圆周，则积分。a.b.c.d.以上答案都不对。4 设是调和函数，则常数。a.0 b.1 c.2 d.3 5 对于复数项级数，以下命题正确的是 a.级数是条件收敛的 b.级数是绝对收敛的c.级数的和为d...