三角函数图像变换。
1．(2013·沧州七校联考)将函数y＝f(x)·sinx的图像向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图像，则f(x)可以是 (
a．cosxb．2cosx
c．sinx d．2sinx
答案 b2．(2013·济宁模拟)为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，可将函数y＝cos2x的图像。
a．向右平移个单位长度 b．向右平移个单位长度。
c．向左平移个单位长度 d．向左平移个单位长度。
答案 b3．与图中曲线对应的函数是。
a．y＝sinx
b．y＝sin|x|
c．y＝－sin|x|
d．y＝－|sinx|
答案 c4．(2012·安徽)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos2x的图像。
a．向左平移1个单位 b．向右平移1个单位。
c．向左平移个单位 d．向右平移个单位。
答案 c解析将y＝cos2x的图像向左平移个单位后即变成y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋1)的图像．
电流强度i(安)随时间t(秒)变化的函数i＝asin(ωt＋φ)a>0，ω>0，0<φ<的图像如右图所示，则当t＝秒时，电流强度是 (
a．－5 a b．5 a
c．5a d．10 a
答案 a解析由图像知a＝10，＝－
ω＝＝100π.∴t＝10sin(100πt＋φ)10)为五点中的第二个点，∴100π×＋
φ＝.i＝10sin(100πt＋)，当t＝秒时，i＝－5 a，故选a.
6．如果两个函数的图像平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出下列四个函数：①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝(sinx＋cosx)；③f(x)＝sinx；④f(x)＝sinx＋.
其中为“互为生成”函数的是。
a．①②b．②③
c．③④d．①④
答案 d解析首先化简所给四个函数解析式：①f(x)＝sin(x＋)，f(x)＝2sin(x＋)，f(x)＝sinx，④f(x)＝sinx＋.可知，③f(x)＝sinx不能单纯经过平移与其他三个函数图像重合，必须经过伸缩变换才能实现，故③不能与其他函数构成“互为生成”函数，同理，①与②的图像也不能仅靠图像平移达到重合，因此①④可仅靠平移能使其图像重合，所以①④为“互为生成”函数，故选d.
7．(2013·衡水调研卷)周期函数f(x)的图像大致如下。
当0≤x<π时，f(x)＝5cos，则f(x)的解析式为：(其中k∈z
a．f(x)＝5cos，kπ≤x<(k＋1)π
b．f(x)＝5cos(＋kπ)，kπ≤x<(k＋1)π
c．f(x)＝5cos，kπ≤x<(k＋1)π
d．f(x)＝5cos，kπ≤x<(k＋1)π
答案 d8．(2012·新课标全国)已知ω>0,0<φ<直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则。
a. b.
c. d.
答案 a解析由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期t＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈z)，又0<φ<所以φ＝.
9．(2012·东北三校一模)要得到函数f(x)＝sin(2x＋)的导函数f′(x)的图像，只需将f(x)的图像。
a．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍。
b．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的。
c．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍。
d．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍。
答案 c解析依题意得f′(x)＝2cos(2x＋)，先将f(x)的图像向左平移个单位得到的是y＝sin[2(x＋)＋cos(2x＋)的图像；再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的是y＝2cos(2x＋)的图像，因此选c.
10．(2011·全国大纲文)设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (
a. b．3
c．6 d．9
答案 c解析依题意得，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的是f(x－)＝cosω(x－)＝cos(ωx－)的图像，故有cosωx＝cos(ωx－)，而cosωx＝cos(2kπ＋ωx－)，故ωx－(ωx－)＝2kπ，即ω＝6k(k∈n*)，因此ω的最小值是6，故选c.
11．函数y＝asin(ωx＋φ)a，ω，为常数，a>0，ω>0)在闭区间[－π0]上的图像如图所示，则ω＝_
答案 3解析由题图可知，t＝，∴3.
12．将函数y＝sin(－2x)的图像向右平移个单位，所得函数图像的解析式为___
答案 y＝sin(π－2x)
13．已知f(x)＝cos(ωx＋)的图像与y＝1的图像的两相邻交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图像，只需把y＝sinωx的图像向左平移___个单位．
答案 解析依题意，y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，因为y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]所以把y＝sin2x的图像向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋)的图像．
14．已知将函数f(x)＝2sinx的图像向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＝1对称，则函数g(x
答案 2sinx＋2
解析将f(x)＝2sinx的图像向左平移1个单位后得到y＝2sin[(x＋1)]的图像，向上平移2个单位后得到y＝2sin[(x＋1)]＋2的图像，又因为其与函数y＝g(x)的图像关于直线x＝1对称，所以y＝g(x)＝2sin[(2－x＋1)]＋2＝2sin[(3－x)]＋2＝2sin(π－x)＋2＝2sinx＋2.
15．函数y＝sin2x的图像向右平移φ(φ0)个单位，得到的图像恰好关于直线x＝对称，则φ的最小值是___
答案 解析 y＝sin2x的图像向右平移φ(φ0)个单位，得y＝sin2(x－φ)sin(2x－2φ)．因其中一条对称轴方程为x＝，则2·－2φ＝kπ＋(k∈z)．因为φ>0，所以φ的最小值为。
16．已知函数f(x)＝2sinxcos(－x)－sin(π＋x)cosx＋sin(＋x)cosx.
1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；
2)指出y＝f(x)的图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于坐标原点对称．
答案 (1)t＝π，最大值，最小值。
2)左移，下移个单位。
解析 (1)f(x)＝2sinxsinx＋sinxcosx＋cosxcosx＝sin2x＋1＋sinxcosx＝＋sin2x－cos2x＝＋sin(2x－)，y＝f(x)的最小正周期t＝π，y＝f(x)的最大值为＋1＝，最小值为－1＝.
2)将函数f(x)＝＋sin(2x－)的图像左移个单位，下移个单位得到y＝sin2x关于坐标原点对称．
附注：平移(－－k∈z均可)
17．(2012·福建)已知函数f(x)＝axsinx－(a∈r)，且在[0，]上的最大值为。
1)求函数f(x)的解析式；
2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．
解析 (1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈(0，)，有sinx＋xcosx>0.
当a＝0时，f(x)＝－不合题意；
当a<0时，x∈(0，)时，f′(x)<0，从而f(x)在(0，)内单调递减，又f(x)在[0，]上的图像是连续不断的，故f(x)在[0，]上的最大值为f(0)＝－不合题意；
当a>0，x∈(0，)时，f′(x)>0，从而f(x)在(0，)内单调递增，又f(x)在[0，]上的图像是连续不断的，故f(x)在[0，]上的最大值为f()，即a－＝，解得a＝1.
综上所述，得f(x)＝xsinx－.
2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：
由(1)知，f(x)＝xsinx－，从而有f(0)＝－0，f()＝0.
又f(x)在[0，]上的图像是连续不断的，所以f(x)在(0，)内至少存在一个零点．
又由(1)知f(x)在[0，]上单调递增，故f(x)在(0，)内有且只有一个零点．
当x∈[，时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.
由g()＝1>0，g(π)0，且g(x)在[，π上的图像是连续不断的，故存在m∈(，使得g(m)＝0.
由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈(，时，有g′(x)<0.
从而g(x)在(，π内单调递减．
当x∈(，m)时，g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，从而f(x)在(，m)内单调递增，故当x∈[，m]时，f(x)≥f()＝0，故f(x)在[，m]上无零点；
当x∈(m，π)时，有g(x)又f(m)>0，f(π)0，且f(x)在[m，π]上的图像是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．
综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．
18．(2012·湖南)已知函数f(x)＝asin(ωx＋φ)x∈r，ω>0,0<φ<的部分图像如图所示．
1)求函数f(x)的解析式；
2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．
解析 (1)由题设图像知，最小正周期t＝2×(－所以ω＝＝2.
因为点(，0)在函数图像上，所以asin(2×＋φ0.
即sin(＋φ0.
又因为0<φ<所以<＋φ从而＋φ＝即φ＝.
又点(0,1)在函数图像上，所以asin＝1，得a＝2.
故f(x)＝2sin(2x＋)．
2)g(x)＝2sin[2(x－)＋2sin[2(x＋)＋
2sin2x－2sin(2x＋)
2sin2x－2(sin2x＋cos2x)
sin2x－cos2x
2sin(2x－)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]k∈z.
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