数学竞赛辅导：空间解析几何与多元函数的微分。
一。 向量代数。
6．以o为圆心的单位圆周上有相异的两点p、q，向量与的夹角为为正常数，求极限。
解 ()1. 平面方程的各种形式。
1) 点法式：，即。
式中为平面的法向量，和分别为平面上的定点和动点，是向径。
2) 一般式：
3) 截距式： 式中分别为平面在三个坐标轴上的截距。
4) 三点式：
式中为平面上不共线的三点。
相当于共面面积）
2. 直线方程的各种形式。
1） 点向式（或标准式、对称式）：，即。
式中为直线的方向向量，和分别为直线上的定点和动点，是向径。
2） 一般式（交面式）：
这里，把直线看作两个平面的交线。
3） 两点式：
式中（i=1, 2）为直线上相异的两点。
4) 参数式： （
式中， 为直线的方向向量，和分别为直线上的定点和动点，t为参数。
3. 两平面、两直线以及平面和直线之间的关系。
1） 两平面的关系：给定两平面，其中为平面的法向量()，则。
两平面垂直：
两平面平行：
两平面重合：
两平面相交：与不平行
2） 两直线的关系：给定两直线，为直线上的点，为直线的方向向量(，则。
两直线垂直：
两直线平行：
两直线重合：
两直线异面：
两直线相交：，且与不平行。
3） 直线与平面的关系：给定平面和直线。为平面的法向量， 和分别为直线l上的定点和方向向量。则。
直线与平面垂直：
直线与平面平行：
直线在平面上：且。
直线与平面相交：
4． 点到平面的距离：
定点到给定平面的距离。
补充：1. 二条直线，共面。
与异面。4．两条异面直线之间的距离： 等于在上的投影，即。
3. 一直线过点，与平面平行，且和直线相交，求此直线方程。
解不妨设直线方程为，其中待定。
与相交与共面。
由（1）和（2）得，代入的方程得。
4. 平面通过两直线和的公垂线，且平行于向量，求此平面的方程。
解 ，。设与的交点分别为，则。
解得，所求平面方程为，即。
5. 试求过点和，且与锥面交成抛物线的平面方程。
解设为所求平面的单位法向量，则。
所求平面与锥面交成抛物线，故平面与面成角，因此。
又，所求平面方程为，即。
6．已知椭球面，试求过轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。
解平面过轴，从而过原点，得。设法向量，由平面过轴得与垂直，得，平面方程：。又与都不符合题意，所以。不妨令，它与椭球面的交线为。
由交线圆的圆心在原点，且该圆过点，故该圆的方程也可表示为
比较（1）和（2）得，所求平面方程为：。
三。 曲线、曲面方程。
8．空间曲面。
1）曲面方程的一般形式：；
曲面方程的显示形式：；
曲面方程的参数形式：
2）旋转曲面：曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为；
绕y轴旋转的旋转曲面方程为。
3）母线平行于坐标轴的柱面：母线平行于z轴的柱面方程为。
3. 已知（1，0，0）与（0，1，1），线段绕轴旋转一周所成的曲面为，求与两平面所围立体的体积。
解： 过a(1,0,0)和b(0,1,1)的直线方程为。
即。在z轴上截距为z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与。
z轴交于点q(0,0,z)，与ab交于点m(1-z,z,z)，故截面圆半径。
从而截面面积， 旋转体的体积。
一．多元函数连续、可导、偏导数连续、可微分的性质。
1． 连续推不出偏导数存在。
例子．在（0，0）连续，但在（0，0）偏导数不存在。
2． 偏导数存在推不出连续。
例子． 在点（0，0）处一阶偏导数存在：，但在（0，0）处不连续。
证明 ；在点（0，0）阶偏导数存在；
令则。当取不同的值时，极限不同，故不存在，所以在。
0，0）处不连续。
3．可微偏导数一定存在（证明见教材）。
但反之不成立：即连续不一定可微分，偏导数存在也不一定可微分。
例子． 在点（0，0）处连续，一阶偏导数存在：，但在。
0，0）处不可微分。
证明，，在点（0，0）处连续；
在点（0，0）阶偏导数存在；
极限不存在，所以在（0，0）处不可微分。
4. 偏导数存在且连续必可微分（证明见教材）；
但可微分偏导数不一定连续。
例子．在点（0，0）处可微分，但偏导数在该点不连续。
证明当时，。
当时， 类似地，可得：当时，
当时， ，所以，在（0，0）处不可微分。
让点沿趋向于（0，0），则有：当时。
显然不存在，即当时，的极限不存在。
同理，当时，的极限不存在。故偏导数在（0，0）处不连续。
5 . 混合偏导数与并不总是相等， 但当
与都连续时它们相等。例 证明：
证明由于故。
从而 同理可求得从而。
于是，6. 设，则。
用定义做，答案：-1.
7.设函数在点（0，0）附近有定义，且。
则。(a);
(b) 曲面在点的法向量为
(c) 曲线在点的切向量为 ;
d) 曲线在点的切向量为 .
应选（ ）相当于参数方程，对参数求导数。应选（c）
1．若=0，且当时；时，则（ ）
解与无关只含有，即。
积分得。当时， （1）
当时， （2）
在（1）或（2）中令或得，所以。
2．设满足且，则（ ）
解 。，所以。
3．已知函数可微，且。则。
解 ，所以。
4．设向量，且二元可微函数在点p 有处有，则（ ）
解 ， 解得，所以。
5． 函数二阶偏导数连续，满足=0，且在极坐标下可表成，其中，求。
解令，则，。
由=0得，即或。
所以。6．设函数满足。
证明： 证明，两边对积分得，两边对积分得。
7．设一元函数当时有连续的二阶导数，且又满足方程试求的表达式。
解 ；；同理
代入原方程，得。
代入初始条件，得。
8. 设是可微函数，若。
证明：仅为的函数，其中。
证明用球坐标得。
令则于是。同理。
故与无关，仅为的函数，证毕。
10. 设在内有连续二阶导数，，且二元函数满足求在内的最大值。
解 （1）令，则，由复合函数。
求导法则得。
同理 代入方程有。
由，得。代入上式得。
由，所以，
2) 求在的最大值。
在[1，e]单调上升，在[e, +单调下降，在t=e取得最大值。
三．偏导数的几何应用。
1．若可微函数对任意满足是曲面上的一点，且，则曲面在处的切平面方程为（ ）
解由两边对求导数得。
两边乘以得。
令，将代入上式得。
故切平面的法向量，切平面方程为： 即。
1． 设直线在平面上，而平面与曲面相切于点（1，-2，5），求之值。
解曲面在点（1，-2，5）处的法向量为。
2，-4，-1}，于是切平面方程为：
由得，。代入（*）式得。
因而有 ，由此解得 。
3． 求。的最小值。
解是点与点的距离；
是点与点的距离。
由于位于平面的上方和下方，点在平面上，因此当。
和在一条直线上时，取得最小值。
4．求常数的值，使函数在点处沿轴正方向的方向导数有最大值64
解 ，沿梯度方向的方向导数最大，由题意必有且方向相同，故有。
解得。5. 设，证明：
证明设，以下求在内的最大、最小值。
由于，所以在内无驻点，只能在边界上取得最大、最小值。令。
由。得且，所以从而的最大值为，的最小值为，所以。
2．求值。解令这个分数的值为，代表分子，代表分母，则有。
4．（1）求； （2）求级数的和。
解 （1）；
（2）。，求导得，再求导得，所以。
5. 求极限。
解利用，其中是的高阶无穷小，这样有，由此得。
6. 试证：多项式没有重根。
证明反证法。若有重根，比如，则必有。
而，由得。但是，矛盾。
所以没有重根。
9．证明积分不依赖于的值。
证明记，则有。
在中做倒代换，令得。
从而。不依赖于的值。
10． 已直抛物线，试从它的那些与曲线的法线重合的弦中，求一条长度最短的弦。
解上的点可以写成。曲线上任意取两点。
则的斜率为，点处的斜率为，从而，即。设弦的长度为，则，的导数在时为0，又当时，时，所以在上的最小值为，从而的最小值为。
11．设是定义在上且具有连续偏导数的函数，
求证：在单位圆内存在点使。
证明令，则在上，由于。
即，有，且，故只能在。
内取得最小值。否则，假如在上，为最小，则。
且，矛盾。令是在内的最小值点，则，所以。
18. 设函数在上有定义，在的某个邻域内有一阶连续导数，且，证明收敛，而发散。
证明由知，且。知存在，使得在上，单调上升，于是存在正整数，当时，，而且，可见交错级数收敛，因而收敛。
由微分中值定理，当时，，，与敛散性相同，后者发散，所以。
发散。19. 设函数在[0, 1]上有二阶导数，且，证明：
存在使得。解令，则在[0, 1]上可导，且，根据罗尔定理，存在使得，即，由于，所以。
20. 设有一半径为的球形物体，其内部一点处的密度，其中为一定点，且到的距离大于，求该物体的质量。
解 ，21. 设函数是[0, 1]上的连续函数，证明：。
证明： 22. 设函数是[0, 1]上的连续函数，且，证明：
证明首先由柯西-施瓦兹不等式（）有。
又由于，有，即，。易知，于是。
高数竞赛辅导 2019
数学竞赛辅导 空间解析几何与多元函数的微分。一。向量代数。1.数量积 内积 其中是之间的夹角。2.向量积 外积 构成右手系。3.坐标表示 其中，4.几何意义 代表以为邻边的平行四边形的面积 平面上三点，构成的三角形的面积为。也可以写成 5.混合积 注意 6.坐标表示 其中，7.几何意义 的绝对值表示...
高数考研辅导五
第五讲 曲面积分。一 基本内容及要求。1 第一类曲面积分。2 第二类曲面积分。3 散度。旋度。4 高斯公式，条件如何？5 斯托克斯公式。条件如何？6 了解第一类曲面积分与第二类曲面积分的互化。二 举例。例5 1 计算下列曲面积分。1 被三个坐标面所截取部分。解 可化成第一类曲面积分计算。解 利用高斯...
2023年高数竞赛大纲
2012年浙江省大学生数学竞赛 微积分 大纲。浙江省大学生数学竞赛微积分组，主要面向全省各高校非数学系专业的在读本科和专科大学生。内容涉及到大学本科 专科 微积分 或 高等数学 课程所涵盖的各知识点，以单变量内容为主，具体内容如下 一 函数极限和连续性。考察考生对函数 极限概念的理解和掌握，函数极限...