第四讲、曲线积分。
一、 基本内容及要求。
条件如何？3、格林公式及其应用。
其中曲线积分与路径无关的等价条件：
设单连通闭区域，若函数p和q在闭区域d内连续，且有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：
1) 沿d内任一按段光滑的闭曲线l,有。
2) 对沿d内任一按段光滑的曲线l,曲线积分与路径无关，只与曲线l的起点和终点有关。
3) 在d内有。
4) 在d内每一点处有：.
4、斯托克斯公式也可转化成格林公式计算。
再利用格林公式。
二、 举例。
例4．1求下列对弧长的曲线积分。
例4．2 对坐标的曲线积分：
解：直接法求解。
2）计算的交线，，从x轴的正向看去l为逆时针方向。
解：参数方法或斯托克斯公式。
3），其中l：沿上半椭圆弧。
解：利用格林公式可得。
练习题：4.1 计算其中l是曲线的一段弧。
解：直接法。。
4.2 设具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑的简单闭曲线l上，曲线积分：的值恒为同一常数。
1) 证明：对右半平面内的任意分段光滑的简单闭曲线c,有：
2) 求的表达式。
解：利用格林公式可证。由恒等式可得：。
4.3 已知(常数),其中具有一阶连续的导数，且，l是绕原点一周的任意正向闭曲线，试求。 (
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