2010考研强化班高等数学讲义。
主讲：汪诚义。
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考研强化班高等数学讲义(六至八章)
第六章多元函数微分学。
6.1 多元函数的概念、极限与连续性。
甲)内容要点。
一、多元函数的概念。
1．二元函数的定义及其几何意义。
设d是平面上的一个点集，如果对每个点p(x,y)∈d，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），d称为定义域。
二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域d。
例如二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域d就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n元函数。
空间一个点集，称为三元函数。
它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限。
设的邻域内有定义，如果对任意只要。
则记以。称当的极限存在，极限值为a。否则，称为极限不存在。
值得注意：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，。
三、二元函数的连续性。
1．二元函数连续的概念。
若。若内每一点皆连续，则称在d内连续。
2．闭区域上连续函数的性质。
定理1 （有界性定理）设在闭区域d上连续，则在d上一定有界。
定理2 （最大值最小值定理）设在闭区域d上连续，则在d上一定有最大值和最小值。
定理3 （介值定理）设在闭区域d上连续，m为最大值，m为最小值，若则存在。
乙）典型例题。
一、求二元函数的定义域。
例1 求函数的定义域。
解：要求 又要求综合上述要求得定义域。
或 例2 求函数。
解：要求 即
函数定义域d在圆的内部（包括边界）和抛物线的左侧（不包括抛物线上的点）
二、有关二元复合函数。
例1 设。解： 设解出。
代入所给函数化简。
故 例2 设。
解： 例3 设。
解： 由条件可知。
三、有关二元函数的极限。
例1 讨论。
解：原式=而。
又。例2 讨论。
解：沿原式。
沿。例3 讨论。解： 而。
用夹逼定理可知原式=0
6.2 偏导数与全微分。
甲）内容要点。
一、偏导数与全微分的概念。
1．偏导数。
二元：设。三元：设。
2．二元函数的二阶偏导数。设
3．全微分。
设增量。若
当 则称可微，而全微分。
定义：定理：可微情况下，三元函数
全微分 4．相互关系。
连续存在 5．方向导数与梯度（数学一）
二、复合函数微分法——锁链公式。
模型i. 设。
则模型ii. 设。
则。模型iii. 设。
则。思考题：设。
求的锁链公式，并画出变量之间关系图。
三、隐函数微分法。设 则
四、几何应用（数学一）
1．空间曲面上一点处的切平面和法线。
2．空间曲线上一点处的切线和法平面。
乙）典型例题。
例1 求的偏导数。
解 ， 例2 设有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定。解 由。
解出 由
解出 所以
例3 设所确定的函数，其中f具有一阶连续导数，f具有一阶连续偏导数求。
解分别在两方程两边对x求导得。
解出 例4 设
解一：令，解二： 在。
解出 代入
合并化简也得
例5 设具有二阶连续偏导数，且满足。
解：而； 代入上式。故：所以：
例6 已知
均有连续编导数，求证。
证：根据隐函数求导公式。
则得 例7 设
解：对 6.3 多元函数的极值和最值。
甲）内容要点。
一、求。第一步
第二步 进一步
二、求多元（）函数条件极值的拉格朗日乘子法。
求 约束条件
求出是有可能的条件极值点，一般再由实际问题的含义确定其充分性，这种方法关键是解方程组的有关技巧。
三、多元函数的最值问题（略）
乙）典型例题。
一、普通极值。
例1 求函数的极值。解 要求
故知由此解得三个驻点。
又 在点（1，1）处。
极小值在点（-1，-1）处。
极小值在点（0，0）处。
这时取。而取不是极值点。
例2 确定的函数，求的极值点和极值。
解因为 每一项对x求导，z看作x，y的函数，得。
每一项对y求导，z看作x，y的函数，得。
令故 将上式代入，可得。
把（1）的每一项再对x求导，z和看作x,y的函数，得。
把（1）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得。
把（2）的每一项再对y求导，z和看作x,y的函数，得。
所以 故 ，极小值为。
类似地，由。
可知 ，极大值为。
二、条件极值问题。
例1 在椭球面第一卦限上p点处作切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求p点坐标。
解：设p点坐标(x,y,z)，则椭球面在p点的切平面的法向量为。
切平面：所以四面体的体积。
约束条件 用x乘（1）+y乘（2）+z乘（3） 得。
则 将（5）分别代入（1），（2），（3）得。
所以 p点坐标为（）而最小体积。
例2 求坐标原点到曲线c：的最短距离。
解：设曲线c上点（x, y, z）到坐标原点的距离为d，令约束条件用拉格朗日乘子法，令。
首先，由（1），（2）可见，如果取。
解得。这样得到两个驻点再由（1）（2）得是矛盾的，所以这种情形设有驻点。
最后，讨论情形，由（1）（2），（3）可得。
此方程无解，所以这种情形也没有驻点。
综合上面讨论可知只有两个驻点，它们到坐标原点的距离都是1，由实际问题一定有最短距离，可知最短距离为1。
另外， 由于c为双曲线，所以坐标原点到c的最大距离不存在。
例3 已知函数在椭圆域。
解法1 由。再由。令。
在椭圆。其最大值为。
再与比较，可知在椭圆域d上的最大值为3，最小值为-2。
解法2 同解法1，得驻点(0,0).
用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆上的极值。
设 解得4个可能的极值点(0,2),(0,-2),(1,0)和(-1,0).
又f (0,2)=-2, f (0,-2)=-2, f (1,0)=3, f (-1,0)=3,再与f (0,0)=2比较，得在d上的最大值为3，最小值为-2。
第七章多元函数积分学。
7.1 二重积分。
甲) 内容要点。
一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题。
模型i：设有界闭区域
其中在上连续，在
上连续，则。
模型ii：设有界闭区域
其中在上连续，在上连续。
则 关于二重积分的计算主要根据模型i或模型ii，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域d如果既不符合模型i中关于d的要求，又不符合模型ii中关于d的要求，那么就需要把d分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型i或模型ii中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。
在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域d，然后根据d再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。
二、在极坐标系中化二重积分为累次积分。
在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域d的不同类型，也有几种常用的模型。
模型i 设有界闭区域。
其中在上连续，在上连续。
则 模型ii 设有界闭区域其中在上连续，在上连续。
则 乙）典型例题。
一、二重积分的计算。
例1 计算，其中d由y=x,y=1和y轴所围区域。
解： 如果。
那么先对求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。
这时先对x积分，当作常数处理就可以了。
原式=例2 计算
解：原式=例3 求
解一： 解二： 由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知。
二、交换积分的顺序。
例1 交换。
解原式=其中d由和以及所围的区域。
由 因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得。
原式。例2 设。
证明：交换积分次序。
令 三、二重积分在几何上的应用。
1、求空间物体的体积。
例1 求两个底半径为r的正交圆柱面所围立体的体积。
解设两正交圆柱面的方程为，它们所围立体在第一卦限中的那部分体积。
其中d为 因此
而整个立体体积由对称性可知。
例2 求球面所围（包含原点那一部分）的体积。
解 其中d为xy平面上与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算。
2、求曲面的面积（数学一）
7.2 三重积分（数学一）
甲) 内容要点。
一、三重积分的计算方法。
1、直角坐标系中三重积分化为累次积分。
（1）设是空间的有界闭区域。
其中d是xy平面上的有界闭区域，在d上连续函数上连续，则。
（2）设。其中d(z)为竖坐标为z的平面上的有界闭区域，则。
2、柱坐标系中三重积分的计算。
相当于把(x,y)化为极坐标（）而z保持不变。
3、球坐标系中三重积分的计算。
乙） 典型例题。
一、有关三重积分的计算。
例1 计算，其中由曲面所围的区域。
解 例2 计算，其中由曲面所围的区域。解令 则
例3 计算所围的区域。
解用球坐标。
例4 计算。
解 二、在物理上的应用。
例1 求椭圆锥面。
解设重心坐标（）物体所占空间区域为。
由对称性可知。
由锥体体积公式可知。令 而
因此，重心坐标。
例2 设有一半径为r的球体，是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离平方成正比（比例系数k>0）,求球体重心的位置。
解一：设球面方程为为 (r, 0,0)，球体的重心坐标为（）
由对称性可知。
由区域的对称性和函数的奇偶性，则有。
于是 因此
解二： 设球面坐标， (0,0,0)，重心坐标（）
由对称性可知
于是 7.3 曲线积分（数学一）
甲) 内容要点。
一、 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）
参数计算公式。
我们只讨论空间情形（平面情形类似）
设空间曲线l的参数方程
则 （假设）这样把曲线积分化为定积分来进行计算。
二、 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
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