2010考研强化班高等数学讲义主讲：汪诚义。
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考研强化班高等数学讲义(四至五章)
第四章常微分方程。
4.1 基本概念和一阶微分方程。
甲） 内容要点。
一、 基本概念。
1、 常微分方程和阶。
2、 解、通解和特解。
3、 初始条件。
4、 齐次线性方程和非齐次线性方程。
二、 变量可分离方程及其推广。
2、齐次方程：
三、 一阶线性方程及其推广。
四、 全微分方程及其推广（数学一）
五、 差分方程（数学三）
乙）典型例题。
例1、求的通解。解： 令。
例2 求微分方程的通解。
解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程是一阶线性方程。
例3 设的一个解，求此微分方程满足的特解。
解：将代入微分方程求出方程化为。
先求出对应齐次方程根据解的结构立刻可得非齐次方程通解。
再由。故所求解。
例4 设内满足以下条件。
1）求所满足的一阶微分方程。
2）求出的表达式。
解：（1）由。
可知所满足的一阶微分方程为。
将。于是
例5 求微分方程的通解。
解：令原方程化为。
化简为。再令。
最后z再返回x,y,v也返回x,即可。
例6. 设有连续函数，满足求的表达式。
解：，西边对求导。
得，即， 由， 则， 再由。
可知。4.2 特殊的高阶微分方程。
甲）内容要点。
一、可降阶的高阶微分方程。
二、线性微分方程解的性质与结构。
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程1）
二阶非齐次线性方程2）
1、 若为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合（为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当，也即线性无关时，则方程的通解为。
2、 若为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解（为独立的任意常数）则是此二阶非齐次线性方程的通解。
3、 设分别是。
的特解，则。
的特解。三、二阶常系数齐次线性方程。
为常数。特征方程
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式。
1）当特征方程有两个不同的实根。
则方程的通解为
2）当特征方程有而重根，则方程的通解为
3）当特征方程有共轭复根，则方程的通解为
四、二阶常系数非齐次线性方程。
方程 通解
其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？
我们根据的形式，先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下：
1、, 其中次多项式。
1）若0不是特征根，则令。
其中为待定系数。
2）若0是特征方程的单根，则令。
3）若0是特征方程的重根，则令。
2、其中次多项式，为实常数。
1）若不是特征根，则令。
2）若是特征方程单根，则令。
3）若是特征方程的重根，则令。
3、或。其中次多项式，皆为实常数。
1）若不是特征根，则令。
其中。为待定系数。
为待定系数。
2）若是特征根，则令。
五、欧拉方程（数学一）
其中为常数称为n阶欧拉方程，令代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程。
乙） 典型例题。
例1 求的通解。
解：令，原方程化为。
属于一阶线性方程。
例2 求下列微分方程的通解。
解令，原方程化为。当。当。
例3 求的通解。
解先求相应齐次方程的通解，其特征方程为。
特征根为，因此齐次方程通解为。
设非齐次方程的特解为为特征根，因此设，代入原方程可得，故原方程的通解为。
例4 求方程的通解。
特征根为，因此齐次方程的通解为。
设非齐次方程的特解为，由于题目中不是特征根，因此设，代入原方程可得。
解联立方程得，因此。
故原方程的通解为。
例5 解。解：令u＝，则，原方程变为。
解出 例6 设函数y＝y（x）在内具有二阶导数，且是y＝y（x）的反函数。
1） 试将x＝x（y）所满足的微分方程变换为y＝y（x）满足的微分方程；
2） 求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，的解。
解 （1）由反函数导数公式知
即。上式两端关于x求导，得。
所以。代入原微分方程得。
2）方程（*）所对应的齐次方程的通解为。
设方程（*）的特解为。
a + b ，代入方程（*）求得a＝0，b＝－，故＝－，从而的通解是。
由，得，故所初值问题的解为。
例7．设f（x）＝x－，其中f（x）连续，求f（x）
解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得。
再对两边关于x求导，得
即属于常系数二阶非齐次线性方程。
对应齐次方程通解，非齐次方程特解设代入方程求出系数a,b,c,d 则得，故f（x）的一般表达式。
由条件和导数表达式可知f（0）＝0，可确定出。
因此。例8 已知，，是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解。
解：由线性微分方程的解的结构定理可得，，
是该方程对应的齐次方程的解，由解与的形式，可得齐次方程为。
设该方程为，代入，得。
所以，该方程为，其通解为 .
4.3 微分方程的应用。
一、微分方程在几何问题方面的应用。
例1 求通过（3，0）的曲线方程，使曲线上任意点处切线与y轴之交点与切点的距离等于此交点与原点的距离。
解：设曲线y＝y（x）上任意一点m（x，y），则其切线方程为y－y＝，故切线与y轴交点a的坐标为，由题意所以。这样，
令。解得 ，即，则。
例 2 设函数f（x）在上连续，若曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝t（t>1）与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积v（t）＝，试求y＝f（x）所满足的微分方程，并求的解。
解：由题意可知。
则。两边对t求导，
令t＝x，f（t）＝f（x）＝y，得。
令，这样，，当。
两边积分后得，方程通解为。
再由，可得c＝-1
二、其它应用（略）
第五章向量代数与空间解析几何（数学一）
5.1 向量代数。
甲)内容要点。
一、空间直角坐标系。
二、向量概念。
坐标。模＝
方向角。方向余弦。
三、向量运算。
设； ；1． 加（减）法 ＝
2． 数乘
3． 数量积（点乘）（ⅰ定义·=
ⅱ）坐标公式·=+
ⅲ）重要应用·=0
4．向量积（叉乘）（ⅰ定义＝
与和皆垂直，且，， 构成右手系
ⅱ）坐标公式=
ⅲ）重要应用=，共线。
5、混合积 （ⅰ定义 （，
ⅱ）坐标公式（，，
ⅲ）表示以，，为棱的平行六面体的体积。
乙）典型例题。
例1、点p到过a，b的直线之间的距离。
d＝例2、点p到a,b,c所在平面的距离。
d＝因为四面体pabc的体积v＝而＝又v＝
例3、过点a，b与过点c，d的异面直线之间的距离。d＝因为。
d＝5.2 平面与直线。
甲）内容要点。
一、 空间解析几何。
1 空间解析几何研究的基本问题。
1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，2）已知坐标x，y和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2 距离公式空间两点与间的距离d为。
3 定比分点公式是ab的分点：,点a,b的坐标为，，则。
当m为中点时，二、平面及其方程。
1 法（线）向量，法（线）方向数。
与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。
2 点法式方程已知平面过点，其法向量＝,则平面的方程为。或。其中。
3 一般式方程。
其中a, b, c不全为零。 x, y, z前的系数表示的法线方向数，＝是的法向量。
特别情形：，表示通过原点的平面。，平行于z轴的平面。，平行平面的平面。
x＝0表示平面。
4 三点式方程设， ,三点不在一条直线上。则通过a,b,c的平面方程为。
5 平面束设直线l的一般式方程为，则通过l的所有平面方程为+，其中。
6 有关平面的问题。
两平面为。设平面的方程为，而点为平面外的一点，则m到平面的距离d：
三直线及其方程。
1 方向向量、方向数。
与直线平行的非零向量，称为直线l的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。
2 直线的标准方程（对称式方程）。
其中为直线上的点，为直线的方向数。
3 参数式方程：
4 两点式。
设，为不同的两点，则通过a和b的直线方程为。
5 一般式方程（作为两平面的交线）：
6 有关直线的问题。
两直线为。四、平面与直线相互关系。
平面的方程为：
直线l 的方程为：
乙）典型例题。
例1．求通过和直线的平面方程。
解通过的所有平面的方程为。
其中为任意实数，且不同时为0。
今把代上上面形式的方程得。
由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取，得，代入方程得。
即 4x－y－z－3＝0
它就是既通过点又通过直线的平面方程。
例2 求过直线且切于球面的平面。
解过所给直线除平面外的其它所有平面方程为。
即。球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径。于是。得。
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