第一章函数极限连续。
一．求极限方法小结。
极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念。
有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型。
1. 知识要点。
1） 利用极限的定义求极限。
2） 利用极限运算法则求极限。
3） 利用不等式求极限。
4） 利用变量代换法求极限。
5） 利用两个重要极限求极限。
6） 利用单调有界准则求极限。
7） 利用函数的连续性求极限。
8） 利用等价无穷小代换求极限。
9） 利用单侧极限求极限。
10） 利用罗必达法则求极限。
11） 利用导数定义求极限。
12） 利用定积分定义求极限。
13） 利用公式求极限。
2．典型例子。
例1：设求证：存在，并求其值。
例2：求 （答案：1）
例3：求答案：1）
例4：求答案：0）
例5：求答案：）
例6答案：）
例7：求常数，使 （）
例8：已知，证明数列收敛，并求出此数列的极限。
例9：设，求 （答案：）
例10：求答案：1）
例11：求答案：1）
例12答案：1）
例13：设，证明：当时，与是同阶无穷小量。
例14答案：）
例15：求答案：）
例16：求（答案：）
例17：设在原点的邻域内二次可导，且，求及 （答案：）
例18：设在的某邻域内具有二阶导数，且，求及。（答案：，）
例19：设，，均为非负数列，且，，，则必有。
对任意成立； 对任意成立；
极限不存在； 极限不存在。
（2023年数学一）
例20：已知，求 （答案：）
例21：设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且，，.证明：存在惟一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小。
例22：求极限（答案：）
例23：已知当时与是等价无穷小，求常数和。（答案：）
例24：设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是。
若收敛，则收敛。 若单调，则收敛。
若收敛， 则收敛。 若单调，则收敛。
答案：b) （2023年数学一）
例25：求极限 （答案：）（2023年数学一）
二．函数的连续性。
1．知识要点。
1． 函数在一点的连续性：在点处连续。
在点处连续。
2． 连续函数的运算。
3． 初等函数的连续性：
基本初等函数在定义区间内是连续的；
初等函数在定义区间内是连续的。
4．函数的间断点和间断点的分类。
5．闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理。
2．典型例子。
例1：求函数的间断点，并指出其类型。
例2：讨论函数在定义域内是否连续。
例3：设其中具有连续导数且，试确定的值使连续，并讨论是否连续。 （答案：）
例4：设在内连续，，且，试证明至少存在一点，使。
例5：设在上连续，且，证明（1）存在，使；（2）存在，使。
例6：设函数在上连续，在内可导，且， 试证必存在，使 （2023年数学三）
例7：设函数。
问为何值时，在处连续；问为何值时，是的可去间断点？（2023年数学二）
例8：设。试补充定义使得在上连续。（答案：） 2023年数学三）
例9：函数在下列哪个区间内有界。
2023年数学三）
例10：设在内有定义，且。
则。）必是的第一类间断点。
）必是的第二类间断点。
）必是的连续点。
）在处的连续性与的取值有关。
例11：设在连续，且，证明：，使得。
第二章一元函数微分学。
一．导数与微分。
1．知识要点。
1． 导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率。
2． 导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率。
曲线在点处的切线方程为：
法线方程为：
3． 在经济学中，的边际函数是指关于自变量的变化率。例如表示边际成本函数，表示边际收入函数，表示边际利润函数。
4． 函数可导与连续的关系：如果函数在点可导，则在点处连续。但是，连续却不一定可导。
5． 求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则。
6． 微分的定义与运算法则。
2．典型例子。
例1：求函数的。
一、二阶导数并讨论其连续性。
例2：设（为实数），问在什么范围内（1）连续；（2）可导；（3）导数连续；（4）二阶可导。
例3：设是可导函数，对于任意实数有，且，求函数的表达式。
例4：求的不可导点的个数。（答案：2）
例5：设，则在点可导的充分必要条件是。
）存在；（）存在。
）存在。（）存在。
例6：设是由方程所确定的隐函数，求。 （答案：）
例7：设且二次可微，，求。
答案：）例8：设函数的导数与二阶导数均存在，并且均不为零，其反函数为，求。 （答案：）
例9：作已知曲线的切线，使其平行于直线，使求此切线方程。 （答案：）
例10：已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于的切线与法线的直线方程。（答案：，）
例11：设在上连续，且，则下列结论中错误的是。
）至少存在一点，使得；
）至少存在一点，使得；
）至少存在一点，使得；
）至少存在一点，使得。
答案：（）2023年数学三）
例12：以下命题中，正确的是
）若在内连续，则在内有界。
）若在内连续，则在内有界。
）若在内有界，则在内有界。
）若在内有界，则在内有界。
答案：（）2023年数学三）
二．微分中值定理。
1．知识要点。
微分中值定理具有相同的几何背景：在一条连续光滑的曲线上，至少存在一点，使曲线在该点的切线平行于对应的弦。
1．定理：设在闭区间上连续，在内可导，且，则存在，使得，即方程在内至少存在一个实根。
定理提供了证明方程根的存在性的另一种有效的方法。
2．中值定理：设内可导在闭区间上连续，在内可导，则存在，使得。
即。中值定理将函数和导数联系在一起了。
3．中值定理：设函数与满足：在闭区间上连续，在内可导，.则存在，使得。
很明显，定理是中值定理的一种特殊情况，而中值是中值定理的一种特殊情况。
4．带余项的公式：设在点的阶导数存在，则。
带余项的公式：设在点的某邻域内具有阶导数，则，有。
其中。公式将函数和高阶导数连续在一起了。
公式的基本思想是利用多项式逼近函数。
2．典型例子。
例1：如果为满足的实数，证明方程。
在内至少有一个实根。
例2：设在上连续，在内可导，且，，试证：
1） 存在，使；
2） 对任意实数，必存在，使。
例3：设在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得
例4：设在上可导，且，，求证：存在使得，.
例5：设在上连续，在内二阶可微，，，求证：.
例6：设在上可导，且，，证明在上存在两点，使 .
例7：设在上具有三阶连续导数，且，，证明：在上至少存在一点，使。
例8：设在上存在二阶导数，且，，证明：存在，使。
例9：证明：
例10：设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，，证明存在，使得。(2023年数学一)
三．导数的应用。
1．知识要点。
利用导数和中值定理，我们可以研究函数的单调性、极值、最值、凹凸性与拐点，可以证明不等式、可以研究方程实根的个数等等。
2．典型例子。
例1：设，证明：
例2：求证：
例3：对任意实数，证明不等式。
例4： 设的导数在处连续，又，则。
）是的极小值点。（）是的极大值点。
是曲线的拐点。
不是的极值点，也不是曲线的拐点。
例5：已知在点的某邻域内有定义，且有，其中为正整数，，讨论在点处是否有极值。
例6：设函数对于一切实数满足微分方程。
1） 若在（）有极值，证明它是极小值；
2） 若在有极值，则它是极大值还是极小值？
例7：设，求证：
例8：设在内有定义，存在，且满足。
如果，求证：.
例9：求方程在区间内的实根的个数。
例10： 讨论方程的实根的个数。
例11： 设，求证：（1）对任意自然数，方程在内只有一个根；（2）设是的根，则。
例12：设在上，，而，证明：
在上单调增加。
例13：设函数在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的点，使。
例14：讨论曲线与的交点个数。（2023年数学二）
第三章一元函数积分学。
一．不定积分。
例1：设，且，求。（答案：）
例2：已知是的一个原函数，求。（答案：）
例3：设，求。
例4：设是的一个原函数，，若当时，有，求。（答案：）
例5：求。例6：求。
二．定积分。
例1：求极限。
例2：设在上连续，且，试证明存在。
例3：已知，求。（答案：）
例4：设函数连续，且已知，求的值。（答案：）
例5：已知求。
例6：求积分，其中当时，而。
例7：设在上连续，且，证明。
例8：设在上连续，求证。
例9：设在上连续，且，，求证：
存在。例10：设是在内的周期函数，周期为，并满足。
求证： 例11：设函数在上具有连续的二阶导数，证明在内存在一点，使得。
例12：设函数在区间上连续，为偶函数，且满足，（1）证明；（2）利用（1）的结论计算。
例13：计算定积分：（答案：）
例14：计算定积分：
例15：试证连续函数是周期函数的充分必要条件是：存在，使对一切的，有。
例16：计算定积分：（答案：）
例17：是以为周期的连续函数，证明：或是以为周期的周期函数，或是线性函数与周期函数的和。
例18：计算，其中。
例19：设在上连续，且满足。
证明： 2023年数学三）
例20：设在上的导数连续，且。证明：对任何，有。
2019考研数学 高数如何复习
第七章无穷级数 数一和数三 1 关于常数项级数判敛的选择题 2 幂级数的收敛域 收敛半径和收敛区间 3 幂级数的展开与求和。第三，对后期复习要有整体规划。基础阶段全面复习 现在 6月 主要目标是系统复习，夯实基础，把基本概念 基本理论 基本方法的内涵与外延弄清楚，加强对知识点的把握，提高解题速度及正...
2019考研复习 考研数学高数全面复习指导
高等数学在考研数学中占有的比例非常的大，可以说学好了高等数学考研数学就成功了一大半，本文给出了高数部分的复习建议，希望通过本文的 给考生提供一些帮助和一些启发。考研数学每门学科的特点不同，学习方法也不尽相同，如果形象去描述高等数学的学习，可以用盖楼来形容。高等数学的学科搭建是呈现层状上升的态势，与线...
考研高数复习
奠定坚实基础，直击考研数学。夯实基础是关键。考研数学在很大比例上在考基本概念 基本理论 基本方法的掌握。这些基础性的东西需要在第一阶段充分把握。这一阶段的主要任务是把考研数学的各个考点 知识点系统性的过一遍。在接触辅导书之前最好先过一遍教材，以便大致有个了解，最好结合考纲，这样有针对性。同济版 高等...