高等数学。
一、填空题。
1．曲线的全长。
2．设在点的某邻域内连续，且，则。
3．设，的反函数是，则。
4．设二阶常系数线性微分方程的一个特解。
为，则此方程的通解为。
5．设函数在点的某个邻域内连续，且，则曲线在处的法线方程为。
6．曲线在处的曲率半径 r
7其中为的上侧．
8．若函数处处二阶可导，且点是曲线的拐点，则。
9．设，且有二阶连续偏导数，则。
10．点到直线的距离为。
11．若函数在：上连续，且。
则。12．级数的收敛区间为。
14．已知曲线的方程为，则曲线与轴围成的平面图形的面积为。
二、选择题。
1．若在点处取得极大值，则下面结论正确的是。
a），且。b），且。
c），且时，时。
d）在点处有可能不可导。
2．设在点的某个邻域内存在阶连续导数，且，，则。
a）当为奇数时，必是曲线的拐点。
b）当为偶数时，必是曲线的拐点。
c）当为奇数时，在点处必不取得极值。
d）当为偶数时，在点处必取得极值。
3．设，且在处可导，则。
ab），c），任意d），任意。
4．设是内连续的正值函数，，则。
a）在内单调增加，在内单调减少。
b）在内单调减少，在内单调增加。
c）在内单调增加。
d）在内单调减少。
5．曲线的渐近线有。
a）一条 （b）二条 （c）三条 （d）四条。
6．若级数收敛，则是。
a）绝对收敛的b）条件收敛的。
b）发散的d）收敛与否与有关。
7．设是具有一阶连续导数的非负任意函数，且是当时与等价的无穷小量，则。
a）0b）1c）2d）
8．已知曲线过原点，且在原点处的法线垂直于直线是微分方程的解，则（ ）
ab）cd）
9．若函数满足，则当时，该函数在处。
的微分是。a）与同阶不等价的无穷小b）与等价的无穷小。
c）比高阶的无穷小d）比低阶的无穷小。
10．设是以2为周期的函数，它在一个周期内的表达式为。
则的付立叶级数。
在处收敛于。
a）1bc）2d）0
11．设在上单调增加且连续，则下列说法正确的是。
a）必唯一一点，使。
b）必唯一一点，使。
c）不可能存在，使。
d）至少两点，使
12．设是微分方程的三个线性无关的解，为任意常数，则。
a）是此方程的解，但不一定是它的通解b）不是此方程的解。
c）是此方程的特解d）是此方程的通解。
13．下列说法不正确的是。
a）若，且收敛则。
b）若，则必发散。
c）若，则必收敛。
d）若都收敛，则必绝对收敛。
14．，l为的顺时针方向，则=
a）0bcd）
15．下列说法正确的是。
a）若和在点的某邻域无界，则。
b）若在点的某邻域内有界，在的某邻域无界，则在点的某邻域一定无界。
c）若和都在点的某邻域有界，则在点。
的某邻域一定有界。
d）若在点的某邻域内都有界，则必有。
三、解答题。
1、求极限。
2、设，其中在的某邻域内连续，在处可导，且．
1）确定的值，使在处可导；
2）对确定的值，在处是否连续？
3、设函数在内连续，，，当。
时，求．4、设函数有二阶连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足下列两个方程：，
5、设是的导函数，证明： ．
其中 6、求下列积分。
7、设在上连续，且，求。
8、设为正整数，且。
1）证明：
2）求。9、计算下列重积分。
2）．，其中是由曲线。
绕轴旋转一周而成的曲面与两平面，所围立体．
10、已知在内连续，且满足，求的值．
11、计算．
12、设是对称于坐标轴的光滑闭曲线，计算 ．
13、设时，函数连续可微，且，在半平面上的任何闭曲线，恒有，求．
14、求下列曲线积分。
1），其中是不经过点和的任意正向简单闭曲线．
2），其中为椭圆。
若从轴正向看去，为逆时针方向．
15、计算曲面积分。
1）．，其中为锥面在第一卦限部分的下侧。
2）．，其中。
16、判断级数的敛散性．若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
17、（1）设及．任取，作，，…证明存在并求其值．
2）证明级数与同敛散性．
18、设为等差数列。
1）求幂级数的收敛半径；
2）求级数的和．
19、设满足方程。
求．20、（1）设曲线上任何一点的切线与轴交点间的线段等于轴上线段，且曲线过点，求曲线的方程．
2）求，其中为由（1）中所围成的平面区域．
21、设有一匀质（密度为）材料的旋转体支柱其顶面所受的压力为，顶半径为高为，若任一水平截面上的压强均相等．
1）求该支柱的轴截面的边界（非直线）曲线的一个方程；
2）求此旋转支柱的外表面的方程；
3）求该柱体的体积．
22、设函数是以为周期的偶函数， 且二阶可导，求方程。
的解．23、质量为长为的均匀细杆吸引着其延长线上距其较近端为处一质量为的质点．
1）求杆和质点间的相互引力；
2）计算当质点在杆的延长线上从距离为处移动到处引力所作的功．
24、设在上连续，在内可导，且。
证明：方程在内至少有两个实根．
25、设在上可微，且当时，证明：对任意有。
26、已知在上有三阶连续导数，并且当时，证明：必存在常数，使．
27、设在区间上具有二阶导数且。
证明：必使．
28、设是上单调减少的函数，证明对于，有。
高等数学。参***详解。
一、填空题。
1．【答案】 4
提示】 利用=
2．【答案】
详解】 利用hospital法则。
3．【答案】
提示】 利用反函数求导法则．，．
4．【答案】
详解】 将特解代入原方程得：
所以，原方程为：， 进而求得通解为。
【答案】详解】 由。
所以，y=f(x)在x=0的切线方向为2 ，法线方向为．
6．【答案】
详解】 利用，将； 代入，就得到=．
7．【答案】
详解】 利用极坐标 x=r，y=r， z=
8．【答案】 0
详解】 运用导数和拐点的定义．
9．【答案】
详解】 运用链式法则，即符合函数求导公式．
10．【答案】
详解】 令 a=（1，1，0）， b=（0，0，3），则
所以，垂直该直线，点a（1，1，0）到该直线的最短距离为。
11．【答案】
详解】12．【答案】
提示】 ，所以收敛区间为
13．【答案】
提示】 利用变换积分次序．
14．【答案】
详解】，令f(x)＝0，得，f(x)与x轴所围面积=．
15．【答案】
详解】 设，
对其先求导，再积分得出
令x= ,则s= ,s=
二．选择题。
1．【答案】 d
提示】 极大值点不一定可导，故选d
2．【答案】 b
详解】 当n为偶数时，可设n=2 则，而，则。
）必为拐点，可用排除法．
3．【答案】 b
详解】 可导必连续．f(x)在x=0处可导，从而一定在x=0处连续，所以，即得 c=0 又，所以得。
a=b4．【答案】 c
提示】 若f(x)可导，, f(x)递增；则f(x)递减．
【答案】 b
详解】，所以它有两条斜渐近线 ：y=x- 与。
6．【答案】 a
详解】，由阿贝尔判别法，原级数绝对收敛．
7．【答案】 c
详解】 利用洛必达法则．
答案c正确．
8．【答案】 b
详解】又f(0)=0 ，解得微分方程的通解为：，所以。
即，利用联立方程组的方法．
9．【答案】 b
详解】 运用微分的定义及已给的极限式．因为，
所以而答案为b．
10．【答案】 b
11．【答案】 b
提示】 由积分中值定理即可．
12．【答案】 d
详解】 可将y代入原微分方程，正好满足，所以它是解，又含有两个独立的任意常数，所以是通解．
13．【答案】 a
提示】 a颠倒了逻辑次序，将充分条件当作了必要条件．
14．【答案】 b
提示】 利用格林公式．答案为b．
15．【答案】 c
详解】 利用局部有界的定义．因为f(x)g(x)在x=0的某邻域有界，必存在，使|f（x）| g(x)|,所以|f(x)+g(x)| 答案为c．三．解答题。 1．【详解】 （1）反复利用洛必达法则。 原式=2）运用洛必达法则。 2．【详解】 （1）在x=0处可导时，则一定在x=0处连续． 所以， 得到： 即a=0 2）利用导数的基本定义。 且。而所以在x=0处连续． 3．【详解】 运用求导的链式法则．， 所以．4．【详解】 对方程两边分别对x求导，得到： 联立解出，代入即可得出，同理，对上述方程再进行二次求导，即得二式． 5．【详解】 运用复合函数求导的链式法则即可．， 所以。而6．【详解】 （1）被积函数可看作由和两部分组成，用分部积分法． 原式=利用换元 ， 令x= 2） 利用两次换元法，注意积分上下限的变化．思考被积函数中sin2x和，可以看出： 再利用换元法t=cos2x ,本题即可解出． 7．【详解】 奇函数在对称区间上的积分为0 ．设 则，在对该式两边积分。 1 设，求。2 已知，证明数列收敛，并求。3 设数列满足，则。1 证明 存在，并求该极限。2 计算。4 求极限 5 函数由方程所确定，求。6 求 7 设由确定，求，8 函数在处连续，且，求曲线在点处的切线方程。9 已知是周期为5的连续函数它在0点的某邻域内满足关系式，是时比的高阶无穷小，且在处可导，... 奠定坚实基础，直击考研数学。夯实基础是关键。考研数学在很大比例上在考基本概念 基本理论 基本方法的掌握。这些基础性的东西需要在第一阶段充分把握。这一阶段的主要任务是把考研数学的各个考点 知识点系统性的过一遍。在接触辅导书之前最好先过一遍教材，以便大致有个了解，最好结合考纲，这样有针对性。同济版 高等... 1 高数建议用同济的第3版或第5版都可以，都这时候了最好复习考研数学的话别看教材了，概念太多了，可以做为参考，可以买一本李永乐的数学题集，如果基础好点的话可以买陈文灯的，个人建议先学线代，因为现代无关高数，是独立学科，完了概率，最后复习高数，高数只复习基础性的东西，针对选择题和填空题。一定要把线代和...考研高数复习题
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