高等数学。
第二节极限。
2.1 内容总结。
1．基本型：型，
2．等价代换当时。
3．重要极限。
其他。极限不存在例：
4．用泰勒公式求极限。
5．用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2.2 例题。
基础题目。一、（型）；
二、（型）；
三、（等价代换）
四、幂指。2．求。
3．求。五、泰勒公式。
注对泰勒公式只需熟悉展开式）
六、夹逼定理与单调有界。
1表示取整函数。
解1 当时，，
故。当时，， 故。从而
5. 已知，，。1）证明数列数列收敛；（2）求的极限值。
解（1），由此可见，设，由知，收敛，令。
；其中，由，有1）
由，有。由（1）-（2）得，解得知收敛，且极限是。
专题训练类题目。
一、重要极限与幂指型极限。例1例2
例3二、等价代换。
例1三、反问题。
例2，求。解原式，由此，有。
回代原式。例4，求常数。
解当时，分子，又，故分母，又，故积分极限为零，故b=0，从而a=1,例6． 2.3 练习。
三、连续函数。
1．定义：，称在点连续。
本质上）2、问题分类。
1）讨论函数的连续性。
2）指出函数间断点，且分类。
3）介值定理应用。
4）连续性应用（）
3、例题。例1 讨论的连续性。
解当时， 考查三点；（除以上三点外，函数连续），为第一类间断点。
是第一类间断点（可去间断）
同法；，是第一类间断点。
例2 设，讨论的间断点及其类型。
解。在点 ，为可去间断点。
在点不存在，为第二类间断点（无穷间断点）。
例3 设在点连续，求与的关系。
解，， 于点连续，则。
例4． 例5．
例6． 例7 证明，恰有三个实根。
证令，则于上连续，而，，，
由零点存在定理，，，使。
即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。
方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。
例8 设在上连续，且对都使，证明在上。
证：在上连续。则有界，即，使。
又，使，故又使。
同理，使。令，则有。
例9 设在上连续，且，证明，使。
证设，假设，则，
相加，与矛盾，即恒大于0，不可能。
同理（恒）也不可能，即必有大于0的点，也有小于0的点，由连续性和介值定理，，使，即。
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