一、 填空题（每小题4分，共20分）
3）曲面在点处的切平面方程是。
4）假设，则。
5）设为上点与之间的一段弧，则。
注：积分曲线参数方程为，二、 （本题8分）设函数具有二阶连续偏导数，求函数的混合二阶偏导数。
解： ，三、 （本题8分）求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少的最快，沿哪个方向值不变。
解： ，沿，减少最快，沿或，值不变。
四、 （本题5分）对于任何不自交的光滑闭曲面，设是上的单位外法向量，是所围成的区域，证明：的面积。
证明：设的单位外法向量为，则有。
利用高斯公式。
再利用量两类曲面积分的联系得。
所以的面积。
五、 （本题8分）计算，其中是一段正弦曲线沿增大的方向。
解：利用格林公式计算，补充线段从到，为所围成区域。
原式。六、 （本题8分）计算的值，其中是球面在平面之上部分。
解：向投影是圆盘，方程可化为。
原式。七、 （本题8分）计算曲面积分，其中为介于与之间的部分的下侧。
解：补充曲面，取上侧，围成的区域为，由高斯公式。
原式。八、 （本题7分）求微分方程的通解。
解：设，则，原方程化为，此为变量可分离方程。
所求通解为。
九、 （本题7分）求微分方程的通解。
解：1）求的通解，解特征方程得，其通解为。
2）因为不是特征根，所以原方程有形如的特解，代入原方程得。
原方程的通解为。
非化工类做。
一十、 （本题7分）求幂级数的收敛域。
解：因为，所以此幂级数收敛半径为，收敛区间为，又因为收敛（和级数比较）所求收敛域为。
一十一、 （本题7分）将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立范围。
解： 一十二、 （本题7分）将函数辗成正弦级数。
解：化工类做。
十、（本题7分）求微分方程的通解。
一阶线性微分方程。
十一、（本题7分）求函数的极值。
十二、（本题7分）验证在整个平面内是某一函数的全微分，并求出它的一个原函数。
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