第七讲常微分方程。
一、知识网络图。
二、重点考核点。
掌握方程类型的判别，根据类型选择合适的方法求解方程，会利用初值条件定出任意常数。
②掌握列方程的常用方法．根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的物理或几何意义，结合其他相关的知识和掌握的方法列出方程和初条件．
③一、二阶线性方程解的性质．
④对数三还要求差分方程，其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用．
注意，全微分方程的求解放在多元积分学部分介绍）
1 微分方程的有关基本概念。
微分方程：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的函数方程，称为微分方程．当方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程．
微分方程的阶：出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶．
设x为自变量，为未知函数，则n阶微分方程的一般形式为。
f（x，y，）=0，且在方程中一定要出现．
微分方程的解：若把已知函数及其导数或微分代入微分方程后能使其成为恒等式，则称该函数为这个微分方程的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解；不含任意常数的解称为微分方程的特解．
为了确定微分方程的特解，需要给出方程中未知函数应满足的附加条件，这种条件称为定解条件，通常给出的是未知函数及其若干阶导数在某点处的值，称为初始条件．
例如：对方程f（x，y，）=0，初始条件可设为。
其中x0，y0，y1，y2，…，yn－1都是给定的常数．
求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题．
2 一阶微分方程的解法。
（1）变量可分离方程。
变量可分离方程的常见形式是，若，方程可改写为， 求积分即得通解．
若存在y0使g（y0）=0，直接验算可知常值函数y = y0也是原方程的一个解．
更一般的变量可分离方程是．
当时，经分离变量，方程可改写成，于是，积分可得通解．
若是函数的一个零点，则也是方程的一个解．如果不限定自变量是x，未知函数是y，且x0是函数的一个零点，则常值函数也是方程的一个解．在求解变量可分离的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解．如果在积分所得的通解表达式里，未知函数包含在对数中，应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中“解脱”出来．
（2）齐次微分方程。
齐次微分方程的标准形式是， 作变换由于dy = udx+xdu，代入方程可得，这是关于u与x的可分离变量方程．当时，分离变量并积分可得。 把换回，即得原方程的通解。同样，若存在是的根，则也是原方程的一个解．
（3）一阶线性微分方程。
一阶线性方程的标准形式是，其中与是已知函数．当时，称为一阶齐次线性方程，否则称为一阶非齐次线性方程．一阶线性方程的通解为．
注意，通解公式中的第一项是对应齐次线性方程的通解，通解公式中的第二项是非齐次线性方程的一个特解．一阶线性方程通解的这种结构是所有线性微分方程通解的共同特点．
除了直接用上述通解公式求解外，还可用积分因子法求解．即用函数（称为方程的积分因子）同乘方程两端，按乘积的导数公式有，两端再积分一次，移项后就得出了通解公式．
【例1】已知函数在任意点x处的增量，且当时，是比较高阶的无穷小，，则（ ）
（a）2． （b）． c）． d）．
【例2】设函数连续，求解方程：．
【解】实质上可导．求导得又原方程中令x = 0得y（0）=0．
求解初值问题两边乘，得。
积分得。由。
【例3】设函数在连续，且满足．求函数．
【解】实质上可导，求导得原方程中令x = 1，得0 = 0自然成立，不必另加条件。求解方程（其中）得．
3 二阶常系数线性微分方程及其解法。
二阶常系数线性微分方程的标准形式为，其中a，b是已知常数，右端项是已知函数．当时，方程称为齐次的，否则，方程称为非齐次的．
引入记号，则方程．
二阶常系数线性微分方程的解满足叠加原理：若y1是方程的一个解，y2是方程的一个解，a，b是两个常数，则ay1 + by2就是方程的一个解．
二阶常系数线性微分方程通解结构定理：方程的通解是。
y = c1 y1 + c2y2 + y*．
其中y1和y2是对应齐次方程l[y] =0两个线性无关的解，即l[y1] 0和l[y2] 0，且不存在常数k使得y1ky2，y*是非齐次方程的一个解，即，而c1，c2是两个任意常数．
1）齐次方程两个线性无关解的求法：二次方程称为二阶常数系线性微分方。
程的特征方程，它的两个根称为特征根．按照特征根的不同情况，可得齐次方程两个线性无关的解，如下表．
2）非齐次方程一个特解的求法：当是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积时，可根据的形式选取适当形式的特解，然后代入非齐次方程并确定特解中的待定系数，即可求得所需的一个特解．若，其中是一个x的m次多项式，r是一个实数，则可按照下表选取特解：(其中是系数待定的m次多项式)
若非齐次项，只需把它看成，且r = 0的特殊情形即可．若，其中ｍ，ｎr，ω都是实数，且ω＞0．特解的取法如下表：（其中a，b是两个待定的常数）
若非齐次项，只需把它看成是，且r = 0的特殊情形即可．另外，无论系数ｍ与ｎ中是否有等于零的，在特解y*中仍应当假设包含两个待定系数a与b．
【例1】设线性无关的函数y1，y2，y3都是微分方程的解，其中， ,是连续的，且c1和c2是任意常数，则此方程的通解是y =（
（a）c1y1 + c 2y2+y3b）c 1y1 + c 2y2－（c 1 + c 2）y3．
（c）c 1y1 + c 2y2－（1－c 1－c 2）y3． （d）c 1y1 + c 2y2 +（1－c 1－c 2）y3．
例2】设有一个特解为，求常数a，b，c的值及此方程的通解．
【例3】微分方程的特解形式可设为。
（a）y* =ax2 + bx + c + x（a sinx + bcosx）．
（b）y* =x（ax2 + bx + c + a sinx + bcosx）．
（c）y* =ax2 + bx + c + asinx．
（d）y* =ax2 + bx + c + acosx．
【例4】设，其中连续．求．
【分析与求解】1）化为求解常微分方程的初值问题，事实上可导．先将方程写成。
两边求导得。
即。在①式中令x = 0得。
求解①转化为求解② +
再将②求导得。
在②中令x = 0得。
求解② +又转化为求解④ +
2）求解初值问题．
令，求解①转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题：
特征方程，特征根＝±i，相应齐次方程的通解。
y =cosx +sinx再求原非齐次方程的如下特解。
记＝acosx + bsinx，于是y*＝x，且无论系数a，b取何值，其中的函数＝acosx + bsinx都满足对应的齐次方程．计算可得．
代入方程就有，由此可得于是原方程的通解为。
由初条件，．因此求得。
4 某些高阶微分方程。
5 应用问题。
一、利用定积分的几何意义列方程。
【例1】设是第一象限内连接的一段连续曲线，为该曲线上任意一点，c为m在x轴上的投影，o为坐标原点，若梯形ocma的面积与曲边三角形cbm的面积之和为，求的表达式．
【分析与求解】（见右图）
1）列方程，定附加条件，按题意。
并有。2）转化，将①求导并化简得。
在①中令x = 1与③一致．
3）求解④并满足②与③．
解一阶线方程④并定常数得 （0≤x≤1）．
【例2】设函数区间［1，+ 上连续，由曲线与直线x = 1，x = t（t＞1）及x轴围成的平面图形绕x轴旋一周所得旋转体的体积为求：
1）所满足的微分方程；
2）该微分方程满足条件的解．
解】（1）的积分表达式是，按题意得。
如同§2例3,满足此积分方程等价于满足微分方程。
2）将t换成x，记，解得通解，由初值。
得c = 1，于是．
【例3】（数一，数二）设曲线上任意点为，一个定点为，由此曲线与极径，围成的曲边扇形的面积等于两点与间弧长的一半，求此曲线的方程．
分析与求解】1）首先用极坐标写出曲边扇形的面积与弧长表达式．
见右图．极径，与曲线围成的曲边扇形面积。
间的弧长。2）按题意列方程并给出初值。即还有。
3）转化将方程求导，原问题转化为求解。
4）求解初值问题。
这是变量可分离的方程．用变量分离法求出通解。
由．于是求得即 ．
二、利用导数的几何意义列方程。
考研高数口诀
1 函数概念五要素，定义关系最核心。口诀 2 分段函数分段点，左右运算要先行。口诀 3 变限积分是函数，遇到之后先求导。口诀 4 奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。口诀 5 单调增加与减少，先算导数正与负。口诀 6 正反函数连续用，最后只留原变量。口诀 7 一步不行接力棒，最终处理见分晓。口诀 8 极...
考研高数特点
先来说客观题部分。选择题中前4个都是高数题，第一题题型比较基础，是一个幂指函数求极限的题目，相信大部分同学能做对 第2题考查的是隐函数复合函数求偏导这个知识点，这一部分辅导班的老师复习到此都会强调，想必除了计算外不会有什么问题！第3题应该算是个比较难的题目，表面上考查的是反常积分的敛散性，实际上分析...
考研高数复习
奠定坚实基础，直击考研数学。夯实基础是关键。考研数学在很大比例上在考基本概念 基本理论 基本方法的掌握。这些基础性的东西需要在第一阶段充分把握。这一阶段的主要任务是把考研数学的各个考点 知识点系统性的过一遍。在接触辅导书之前最好先过一遍教材，以便大致有个了解，最好结合考纲，这样有针对性。同济版 高等...