例1 设是定义在上的二元函数，，
在点可微，求极限。
解交换积分次序，得，于是，其中。
由于在点可微，于是，。
例2 设为阶方阵，若相似，则对于任意正整数，相似。
证明因为相似，所以存在可逆矩阵使得，两边同时次方，得，即相似。
注：若为的多项式，相似，则重复“例2”的过程，知相似。
例3 设矩阵，相似，求。
解因为相似，所以与相似，与相似，只要计算与的秩即可---
例4 设为3阶相似非零矩阵，且，计算。
解因为，由，易求得，由知是的两个特征值，而相似，所以也是的两个特征值；由，得的另一个特征值。
又，而的特征值分别为，所以。
因为，所以与具有相同的特征值，，，于是。
注意：（1） 因为的特征值也可以用性质来计算，与上面的结论不符，说明该命题是个假命题，只能说明不可能与具有题目所规定性质的相似。该题目出自“黄先开”的某一参考资料。
该命题是一个假命题。
2） 从题设可知，矩阵是正交矩阵，其特征值只能为，不可能为，也可说明该命题是假命题。
例5 设为3阶矩阵，若存在3个正交的特征向量，则为对称矩阵。
证明设的3个正交的特征向量分别为，将它们分别单位化，得三个相互正交的单位长度的特征向量，再设分别为对应的特征值，令，则为正交矩阵，且，于是为对称矩阵。
例6 已知是3阶方阵，为三维列向量，向量组线性无关且满足关系式，设，求矩阵，使得。
解由，知，而。
于是，。例7 设为3阶实对称矩阵，，，求的相似对角形并计算行列式。
解由得，易证，而，所以，而为3阶实对称矩阵，必定可以对角化，由和知，的特征值为和，再由知属于特征值的特征向量有两个，即为2重特征值，于是的相似对角形为，的特征值为1，3，3，所以=9 。
例8 设是阶方阵，且任一维列向量都是的特征向量，则是数量矩阵。
证明设为单位矩阵的列向量，设它们分别为属于特征值的特征向量，则有，从而。
若，由题设，也是特征向量，但属于不同特征值的特征向量不是其特征向量，矛盾！于是，只有，即是数量矩阵。
例9 设是阶实对称矩阵，是其特征值， 分别为对应的标准正交的特征向量，求证可以表示为。
证明令，则为正交阵，且。从而。
例10 设为阶正定矩阵，求证存在阶正定矩阵，使得。
证明因为为阶正定矩阵，所以存在阶正交阵，使。
其中为的特征值，且全为正，于是。
令，则。例11 若为可逆实对称矩阵，则一定为正定矩阵。
证明方法一因为可逆，所以任一其特征值，的特征值，而实对称矩阵，所以实对称，故为正定矩阵。
方法二设为阶可逆方阵，则对于任意非零维列向量，，于是。
即一定为正定矩阵。
例12 设为实正交阵，求证的特征值只能是1或-1 。
证明设为的任一特征值，为其对应的任一特征向量，则，转置，得，与相乘，得，即，而，于是有。
例13 设为实正交阵，又是正定阵，求证为单位矩阵。
证明因为为实正交阵，所以的特征值只能是1或-1，又因为是正定阵，所以特征值全大于零，因此的特征值只能是1，存在正交阵，使。
故。例14 设为阶正定矩阵，求证的特征值全大于零。
证明方法一因为为阶正定矩阵，所以存在阶可逆矩阵，使得，于是，其中，而，因为可逆，所以可逆，于是为正定矩阵，其特征值全大于零，而与具有相同的特征值，所以的特征值全大于零，即的特征值全大于零。
方法二因为为阶正定矩阵，所以存在阶可逆矩阵，使得。于是。而。
由于可逆，所以正定，即与正定矩阵相似，所以的特征值全大于零。
注：若为阶正定矩阵，未必正定，因为未必可交换；若再满足条件，则正定。
例15 设为阶非负定矩阵，则的特征值非负。
证明因为为阶非负定矩阵，所以存在阶矩阵，使得。
于是，其中，而，所以非负定，的特征值非负，因为与具有相同的特征值，所以特征值非负，进而的特征值非负。
例16 设，相互独立，求的分布。
解任意，有。
于是。例17 设随机变量的密度函数为，且为偶函数，，求证。
与不相关，但不独立。
证明 “不相关”很容易证明（略）。
因为为连续型随机变量，所以必存在正数，使得。
于是。即与不独立。
练习设为来自总体的样本，，求的协方差与相关系数，其中。
例18 设随机变量序列独立同分布，且
求证 。提示请考虑车比雪夫不等式。一般“依概率收敛”的题目，要么验证是否符合相关大数定律，要么先验证无偏性，再用车比雪夫不等式。
例19 设为阶正定矩阵，为3个非零维列向量，，讨论的线性相关性。
解方法一若线性相关，则必定有一个向量可以由其他两个线性表示，不妨，则一方面有，另一方面，由于矩阵正定，不是零向量，所以，与上述矛盾，因此线性无关。
方法二因为矩阵正定，所以存在阶可逆矩阵，使得，而时，有。
即时与正交，即、、为两两正交的非零向量组，因此、、线性无关。设，两端同时乘可逆矩阵，得，由、、线性无关，得，所以线性无关。
例20 设为阶方阵，问的非零特征值个数是否就是的秩？
答其实两者没有必然联系。如矩阵的非零特征值只有1，但是它的秩为2。再如矩阵，其特征值全为零，但是秩却为2 。
例21 设为矩阵，，为矩阵，求证。
证明只要证明线性方程组与同解即可。事实上，的解显然是的解；另一方面，若，即，因为，即为列满秩，所以线性方程组只有零解，于是，从而线性方程组与同解，因此。
例22 设在上连续，在内可导，，求证：存在使得。
分析：由知，，或，应该考虑函数，只要此函数在存在两个不同零点即可。
事实上，显然，，因为在上连续，由积分中值定理，存在，使得，于是，在区间上利用洛尔中值定理即可。
方法二令，则，则存在使得，再令，则在连续，在可导，，所以存在使得，从而。
例22 设在上具有一阶连续导数，在内二阶可导，，，求证：
1） 存在使得；
2） 存在使得。
分析：其实，第一个命题是简单的，但考虑到还要证明第二而个命题，所以应通盘考虑。由，只要证明，为此，应考虑函数，由洛尔中值定理，它只要有两个不同零点即可，或有两个不同零点即可，为此，应考察函数，它的导数只要有两个不同零点即可，所以只要函数在上具有三个不同零点即可。
事实上，这个结论是简单的。
例23、问是否一定可以相似对角化？
答：能。令为三阶单位矩阵，则。
例24、问是否一定可以相似对角化？
答：不一定。如时为实对称矩阵，可以对角化；令，则不可以相似对角化。
例25、设为阶正定矩阵，求证：对任意阶实矩阵，有。
证明：方法一因为为阶正定矩阵，所以存在阶可逆矩阵，使得，于是。
方法二只需证明齐次线性方程组与同解即可。事实上，的解显然是的解；若，则，或，由于为阶正定矩阵，所以，即的解是的解，所以与同解，从而有。
例26、设为直线外的一点，且直线的方向向量为，为上的任意一点，过的向量为，则到直线得距离为。
提示：考虑到与的向量积的模就是以它们为临边所作平行四边形的面积，除以向量的模，即为到直线得距离。
例27、设齐次线性方程组：
与。求证：1）方程组（1）的解是方程组（2）的解的充要条件是向量组。
可以由。
线性表示。2）方程组（1）与（2）同解的充要条件是向量组（3）与（4）等价。
证明：1）记方程组（1）的系数矩阵为，（2）的系数矩阵为，则方程组（1）的解是方程组（2）的解的充要条件是方程组与方程组同解向量组（3）可以由向量组（4）线性表示。
2）由1）的结果即可。
例28、设是秩为的阶方阵，求证：存在秩为的阶方阵，使得。
提示：通过考虑线性方程组的基础解析，容易证明存在秩为的阶方阵使得；由于的秩均为，故存在秩为的阶方阵使得，于是，从而。
例29、设是三个阶方阵，若，则。
证明：因为，所以线性方程组与具有相同的解，为证明，只需证明：线性方程组与具有相同的解即可。
事实上，的解显然是的解；另一方面，若，即，则列向量是线性方程组的解，而与具有相同的解，所以是的解，即，或，于是列向量为线性方程组的解。综上，线性方程组与具有相同的解。
例30、设为个线性无关的维向量，求证：存在含有个未知量的齐次线性方程组，使得是该齐次线性方程组的基础解系。
证明：设。记，则，设线性方程组的基础解系为，它们均为维列向量，则，记，则，于是有，因为，所以的基础解系中含有个线性无关的解向量，而线性无关，所以是该齐次线性方程组的基础解系。
例31、设为3阶方阵，为的3个不同的特征值，对应的特征向量分别为，令，1） 求证线性无关；
2） 若，求。
解（1）（用定义，考虑范德蒙行列式）。
2）因为线性无关，所以可逆，又。
所以有，即与相似，一是与相似，与相似，往下的过程从略。
例32、设随机变量的概率密度为。
对重复观察6次，用表示观察值大于的次数，又知矩阵具有重特征值。
1） 求可以对角化的概率。
2） 当可对角化时，求可逆矩阵，使为对角矩阵。
解（1）因为，所以。又因为。
若为重特征值，则有在时为零，此时，于是有。
从而（也可以由其他方法求另一特征值）。由，所以线性方程组具有2个线性无关解，因此可以对角化；
若不是重特征值，则必有重根，从而，由此得，此时，而，所以属于特征值的线性无关特征向量只有1个，不能对角化。
综上，只有在时才能对角化，可以对角化的概率为。
（2）（略）。
例33、设为阶不可逆的对称矩阵，则，其中为的元素的代数余子式。
证明：由于是对称矩阵，所以，因为不可逆，所以，对于的任一个二阶子式，当时，结论显然成立。
例34、讨论级数的敛散性。
解：记，则，由于数列严格单调递增趋于，所以，因此，从而发散。
例35、求函数在条件的条件下的最大值和最小值。
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