数学竞赛辅导：空间解析几何与多元函数的微分。
一。 向量代数。
1. 数量积（内积）：其中是之间的夹角。
2. 向量积（外积）： 构成右手系。
3. 坐标表示：
其中，4. 几何意义：代表以为邻边的平行四边形的面积；
平面上三点， ,构成的三角形的面积为。
也可以写成：。
5. 混合积：。 注意：
6. 坐标表示：,
其中，，,7. 几何意义：的绝对值表示以为三条邻边的平行六面体的体积。
共面的充要条件是。
空间不共面的四点， ,构成的四面体的体积为。
它实际是以为邻边的平行六面体的体积的六分之一）
题目精选。1. 设， ,试求与的夹角。
解：因为。所以。
2.设单位向量满足求的值。解 所以。
3．设和垂直，和垂直，求非零向量与的夹角。解：由得。
1）-（2），得， 即，1）8+（2）15，得，由， 推得。
所以，4．设向量， ,证明：a, b, c, 三。
点共线的充要条件是。
证明： a, b, c, 三点共线
5．设是三维空间中的两个非零向量，且=1，（）求极限。解 =
6．以o为圆心的单位圆周上有相异的两点p、q，向量与的夹角为为正常数，求极限。
解 ()二。 平面与直线方程。
1. 平面方程的各种形式。
1) 点法式：，即。
式中为平面的法向量，和分别为平面上的定点和动点，是向径。
2) 一般式：
3) 截距式： 式中分别为平面在三个坐标轴上的截距。
4) 三点式：
式中为平面上不共线的三点。
相当于共面面积）
2. 直线方程的各种形式。
1） 点向式（或标准式、对称式）：，即。
式中为直线的方向向量，和分别为直线上的定点和动点，是向径。
2） 一般式（交面式）：
这里，把直线看作两个平面的交线。
3） 两点式：
式中（i=1, 2）为直线上相异的两点。
4) 参数式： （
式中， 为直线的方向向量，和分别为直线上的定点和动点，t为参数。
3. 两平面、两直线以及平面和直线之间的关系。
1） 两平面的关系：给定两平面，其中为平面的法向量()，则。
两平面垂直：
两平面平行：
两平面重合：
两平面相交：与不平行
2） 两直线的关系：给定两直线，为直线上的点，为直线的方向向量(，则。
两直线垂直：
两直线平行：
两直线重合：
两直线异面：
两直线相交：，且与不平行。
3） 直线与平面的关系：给定平面和直线。为平面的法向量， 和分别为直线l上的定点和方向向量。则。
直线与平面垂直：
直线与平面平行：
直线在平面上：且。
直线与平面相交：
4． 点到平面的距离：
定点到给定平面的距离。
补充：1. 二条直线，共面。
与异面。2. 点到直线（过点，方向向量为）的距离。
3. 两条异面直线的公垂线可以看作是过的平面与过的平面的交线，即。
用坐标表示为。
此处，。4．两条异面直线之间的距离： 等于在上的投影，即。
典型例题。1． 三个平面过同一条直线的充要条件是。
应填 解一这三个平面都过原点，因此。
这三个平面过同一条直线齐次线性方程组。
有非零解。解二这三个平面都过原点，因此。
这三个平面过同一条直线三个法向量共面。
2．已知二直线，
1）说明它们异面；(2)求它们的公垂线方程；（3）求它们之间的距离。
解 （1），所以异面。
（2）,公垂线方程为。
即。（3）距离为。
3. 一直线过点，与平面平行，且和直线相交，求此直线方程。
解不妨设直线方程为，其中待定。
与相交与共面。
由（1）和（2）得，代入的方程得。
4. 平面通过两直线和的公垂线，且平行于向量，求此平面的方程。
解 ，。设与的交点分别为，则。
解得，所求平面方程为，即。
5. 试求过点和，且与锥面交成抛物线的平面方程。
解设为所求平面的单位法向量，则。
所求平面与锥面交成抛物线，故平面与面成角，因此。
又，所求平面方程为，即。
6．已知椭球面，试求过轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。
解平面过轴，从而过原点，得。设法向量，由平面过轴得与垂直，得，平面方程：。又与都不符合题意，所以。不妨令，它与椭球面的交线为。
由交线圆的圆心在原点，且该圆过点，故该圆的方程也可表示为
比较（1）和（2）得，所求平面方程为：。
]：求出过原点且和椭球面的交线为一个圆的所有平面。
全国大学生数学竞赛决赛试题， 2023年3月）
注：无答案。
三。 曲线、曲面方程。
8．空间曲面。
1）曲面方程的一般形式：；
曲面方程的显示形式：；
曲面方程的参数形式：
2）旋转曲面：曲线绕轴旋转的旋转曲面方程为；
绕y轴旋转的旋转曲面方程为。
3）母线平行于坐标轴的柱面：母线平行于z轴的柱面方程为。
4）二次曲面。
椭球面： 单叶双曲面：
双叶双曲面：
二次锥面：
椭圆抛物面：
双曲抛物面：
9. 空间曲线。
1）空间曲线方程的一般形式：用（隐式），或。
显式），或（参数式）。
2）空间曲线在坐标面上的投影：设表示空间曲线c，通过上面两个方程式消去z，得f（x，y）=0，则表示空间曲线c在xoy面上的投影曲线的方程。
有关知识补充：
1. 柱面方程。
以曲线为准线， 以为母线方向的柱面方程为。
消去即为所求柱面。
2. 锥面方程：
给定准线， 定点，有锥面方程。
消去即为所求锥面。
3. 旋转曲面：
给定母线c：, 它绕直线旋转的曲面，相当于以。
为球心长为半径的球面，与过以为法向量的平面的交线为曲线族形成的曲面，从而有。
消去即为所求旋转曲面。
特别，当定直线l为坐标轴，如z轴时，取a=b=c=0,此时，后两个方程变为：，即。
再由前两个方程将用表示，即得所求旋转曲面。
典型例题。1.直线绕z轴旋转，得到的旋转曲面方程为。
解：，，得。
2. 求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周所得曲面的方程。
解：过直线作一垂直于的平面，与的交线即为的方程。
的法向量既垂直于的方向向量，又垂直于的法向量，因此，可取。
的法向量为。
由点法式知的方程为：，从而的方程为。
将写成，，
得。即s的方程为。
3. 已知（1，0，0）与（0，1，1），线段绕轴旋转一周所成的曲面为，求与两平面所围立体的体积。
解： 过a(1,0,0)和b(0,1,1)的直线方程为。
即。在z轴上截距为z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与。
z轴交于点q(0,0,z)，与ab交于点m(1-z,z,z)，故截面圆半径。
从而截面面积， 旋转体的体积。
4. 求直线绕直线旋转一周所得旋转曲面的方程。
解这是旋转曲面方程。给定母线c：, 它绕直线。
旋转的曲面，相当于以为球心长为半径的球面，与过以。
为法向量的平面的交线为曲线族形成的曲面，从而有。
消去即为所求旋转曲面。
本题：母线，
由（3）得，。代入（2）得。
再代入（1）得。
化简得。5. 求椭球面在三个坐标面上的投影区域。
解先考虑椭球面在平面上的投影。该投影即通。
过所给曲面上的每一点向平面作垂线所得的垂足的全体，它是。
平面上的一个区域，这个区域的边界由曲面上这样的点的投影构成：
这一点向平面所作的垂线在它的切面内（与椭球面相切），即该点。
的法线与平面平行。
注意到该点的法向量为={}因此，该点的坐标满足。
这些点的投影为，它即椭球面在平面上投影的边界曲线。
同样的方法可考虑切面与平面垂直，则有。
因此，对平面投影为边界点的椭球面上的点应满足方程。
这是椭球面与平面的交线，将它改写为柱面与平面的交线。
于是，椭球面在平面上投影的边界由方程所确定。
同样的方法可确定椭球面在平面上投影的边界由方程。
所确定。于是，椭球面在平面上的投影区域为圆：
在平面上的投影区域为椭圆：；
在平面上的投影区域为椭圆：
一．多元函数连续、可导、偏导数连续、可微分的性质。
1． 连续推不出偏导数存在。
例子．在（0，0）连续，但在（0，0）偏导数不存在。
2． 偏导数存在推不出连续。
例子． 在点（0，0）处一阶偏导数存在：，但在（0，0）处不连续。
证明 ；在点（0，0）阶偏导数存在；
令则。当取不同的值时，极限不同，故不存在，所以在。
0，0）处不连续。
3．可微偏导数一定存在（证明见教材）。
但反之不成立：即连续不一定可微分，偏导数存在也不一定可微分。
例子． 在点（0，0）处连续，一阶偏导数存在：，但在。
0，0）处不可微分。
证明，，在点（0，0）处连续；
在点（0，0）阶偏导数存在；
极限不存在，所以在（0，0）处不可微分。
4. 偏导数存在且连续必可微分（证明见教材）；
但可微分偏导数不一定连续。
例子．在点（0，0）处可微分，但偏导数在该点不连续。
证明当时，。
当时， 类似地，可得：当时，
当时， ，所以，在（0，0）处不可微分。
让点沿趋向于（0，0），则有：当时。
显然不存在，即当时，的极限不存在。
同理，当时，的极限不存在。故偏导数在（0，0）处不连续。
5 . 混合偏导数与并不总是相等， 但当
与都连续时它们相等。例 证明：
证明由于故。
从而 同理可求得从而。
于是，6. 设，则。
用定义做，答案：-1.
7.设函数在点（0，0）附近有定义，且。
则。(a);
(b) 曲面在点的法向量为
(c) 曲线在点的切向量为 ;
d) 曲线在点的切向量为 .
应选（ ）相当于参数方程，对参数求导数。应选（c）
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