高数考研辅导第8，9讲内容。
第8讲：函数零点的存在与个数问题。
方法有三条思路：
一、用连续函数的零点定理证明存在零点，在结合单调性证明零点的唯一性。
1（04，11分）设有方程，为正整数，证明此方程存在唯一的正根，并证明当时，级数收敛。
2、选择题（96，3分）在内，，方程。
a、无实根 b、有且一个实根 c 、有且仅有两个实根 d、有无穷多个实根。
二、利用函数的单调性与极值确定零点的个数。
3（03，12分）讨论曲线与交点的个数。
4（97，8分）就的不同取值，确定方程在内根的个数。
5（11，10分）求方程不同实根的个数，其中为参数。
三、用罗尔定理证明导数存在零点或对的原函数用罗尔定理证明存在零点。
6（98，8分）设是在区间上任意一个非负连续函数。
1） 试证存在，使得在上以为高的矩形的面积等于在上以为曲边的曲边梯形的面积。
2） 又设在区间内科导，且，证明（1）中的是唯一的。
7、（00，6分）设函数在上连续，且试证：在内至少存在不同的两点，使。
8（07，11分）设在上连续，在内具有二阶导数，且存在相等的最大值，并且满足，证明：，使。
9（08，4分）选择题，设，则的零点的个数为。
a、个 b、1个 c、2个 d、3个。
10（09，11分）（1）证明拉格朗日中值定理，（2）设在处连续，在内可导，且，证明存在，且。
11（11，4分）选择题：函数的驻点个数为。
a、个 b、1个 c、2个 d、3个。
高数考研辅导第9讲。
拉格朗日中值定理与带有拉格朗日余项的泰勒公式极其应用。
1（03，4分）的马可劳林公式中的项的系数是（ ）
2（96，5分）求在处带拉格朗日余项的阶泰勒公式。
3（02，3分）选择，函数内各阶可导，则（ ）
a、时必有。
b、存在时，必有。
c、当时，必有。
d、当存在时，必有。
4（99，8分）设函数在上具有3阶连续导数，且，证明：在开区间内至少存在一点，使。
5（01，8分）设函数在上具有2阶连续导数，1）写出带拉格朗日余项的1阶马可劳林公式。
2）证明在上至少存在一点，使。
6（03，10分）设在上连续，在内可导，且，若极限。
存在，证明。
1） 在内，
2） 在内存在，使。
3） 在内存在与（2）中相异的点，使。
7（05，12分）已知在上连续，在内可导，且。
证明：（1），使。
2）存在两个不同的点，使。
8（08，11分）（1）证明积分中值定理：若在上连续，则，使。
2）、若具有2阶导数，切满足，，则至少存在一点，使。
9（10，10分）设在上连续，在内可导，且。
证明： ，使。
10（01，7分）设在内具有二阶连续的导数，且，试证。
1） 对于内任意的，存在唯一使。成立………
高数考研辅导选讲一
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