§2.2 中值定理及导数的应用。
一、主要内容。
中值定理。1.罗尔定理：满足条件：
在内至少存在一点，使得。
y a ob xa ob x
2.拉格朗日定理：满足条件：
罗必塔法则：（ 型未定式）
定理：和满足条件：
1o；2o在点a的某个邻域内可导，且；3o则：
注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是型或型时，不可求导。
3o应用法则时，要分别对分子、分母。
求导，而不是对整个分式求导。
4o若和还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：
5o若函数是型可采用代数变形，化成或型；若是型，可采用对数或指数变形，化成或型。
导数的应用。
1． 切线方程和法线方程：
设： 切线方程：
法线方程：
2． 曲线的单调性：
3.函数的极值：
极值的定义：
设在内有定义，是内的一点；
若对于的某个邻域内的任意点，都有：
则称是的一个极大值（或极小值），称为的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理： 称为的驻点。
⑶极值存在的充分条件：
第一充分条件：
当渐增通过时，由（+）变（-）则为极大值；
当渐增通过时，由（-）变（+）则为极小值。
第二充分条件：
若，则为极大值； 若，则为极小值。
注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
若；则在内是上凹的（或凹的），（
若；则在内是下凹的（或凸的），（
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
⑵铅直渐近线：
二、例题分析。
例1． 函数在[-1，0]上是否满足罗尔定理的条件？若满足，求出的值。
解：∵是初等函数，在[-1，0]上有定义；
∴在[-1，0]上连续。
在（-1，0）内有定义；
在（-1，0）内可导。
又。∴满足罗尔定理的条件。由定理可得：
解得： ∵不在（-1，0）内，舍去；
例2。证明：当时，不等式成立。
证法一：（采用中值定理证明）
设： 是初等函数 ，在[0,x]上有定义，在[0,x]上连续。
在（0,x）内有定义。
在（0,x）内可导。
满足拉格朗日定理的条件，由定理可得：
证毕。证法二：（采用函数的单调性证明）
设： 即：
；证毕。例3．证明：
证：设： ；证毕。
例4．证明：当时，。
解：设：，
∴； 证毕。
例5．求下列极限：
解：解：
解：令： 当时，；
解法一： 解法二：
解：解：
解法一： （对数法）
设： 解法二：（指数法）
解法一：设：
解法二： 解法三：设：
解： 例6．
解：设： 例7．
解： 例8．设：，求a、b的值。解：∵
代入（※）式，得：
∴当时，原式成立。
例9．求曲线在点（1，2）处的切线方程。
和法线方程。
解： ∴切线方程：
即： 法线方程：
即：例10．曲线的切线在何处与直线平行？
解： ∵的切线与平行。
∴所要求的点为：
例11．求曲线上任意点处的切线与坐标轴组成的三角形的面积。
解：⑴求切线方程：
切线方程为：
⑵求a、b的坐标：
a:代入（1）式，得：
b:代入（1）式，得：
⑶求三角形的面积：
例12．求函数的单调增减区间和极值。
解：的定义域：
令，解得：
当时，无定义，∴是间断点。列表如下：
极大值 ↓ 极小值 ↑
∴当时， 为极大值；
当时，为极大值。
单调减少区间为：(-1,0),(0,1)
单调增加区间为：(-1),(1,+∞
例13．作函数的图形。
解：的定义域：
令：，解得：
无一阶导数不存在的点。
令：，解得：
是水平渐近线。
列表如下：x ( 1) 1 （1,2） 2 （ 2,+∞
↑∩ 极大值 ↓∩拐点 ↓∪
例14．求下列曲线的渐近线。
解： 的定义域：
是水平渐近线。
解：的定义域：
是水平渐近线。
是铅直渐近线。
例15．设，求在上的最大值和最小值。
解： 令：，解得：
舍去。 为极小值；
为最大值，为最小值。
结论：若连续函数在内只有一个极小（或大）值，而无极大（或小）值，则此极小（或大）值就是在内的最小（或大）值。
例16．欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料造价为6元/m，其余三面所用材料的造价为3元/m，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？
解：设：场地的正面长为x米，则：场地的侧面长为米。
所用材料费为y元。
令：，解得：（舍负）
∴为极小值点。
∵函数y在（0,+∞内连续，并只有一个极小值，而无极大值，∴函数y在处取得最小值。
∴当场地的正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少。
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