第 4 讲。
第二章群论。
§1 群的定义
本讲教学目的和要求：群论是代数学中最古老最丰富的分支。
之一，是近世代数的基础。变换群在几何学中起着重要的。
作用，而有限群则是伽罗华理论（galois,e[法] 1811—1832）
的基础。在所有只含一个代数运算的代数体系中，最重要的。
一个研究对象就是群。
本讲的重点和难点：由于本讲知识群论的最基本部分，照理不该出现什么难点，但仍希望能对下列问题引起注意：
1） 本讲的论证部分（通过逐渐熟悉这些理论证明，慢慢踏上“近世代数”的学习之路。
2） 群的阶和群中元素的阶。
一、群的概念。
定义1. （群的第一定义）设为任一非空集合，上定义。
了一个代数运算“”，如果 “”
1）满足结合律，即，2）如果，方程在中有解，那么称为群。
课堂训练：由群的定义，判断下列代数体系中哪些是群？为什么？
、，是集合的全部子集做成的类。
20、，是集合的全部子集做成的类。
解：1是群。 因为有单位元0（即0），而的逆元为，因为。 （譬如3的逆元为-3，…）同理3,6,9,14,16都是群。 2不是群。 因为有单位元1，而，0不可能有逆元（）
同理4，7，10，15，17也不是群，而13中虽然无零，但除了1外，中其它元都没有逆元，所以13也不是群。
18不是群，因为若且时，不可逆没有逆元。
19不是群，因为除了外，其它元都没有逆元。
20不是群，因为除了外，其它元都没有逆元。
注意：在群中，通常称“”为乘法，因而称群为乘法群。但有时我们会遇到用“加法”做成的群。
不过要特别提醒的是：乘法群中的乘法“”并不是一定都是两个数相乘，这里只是“借用”了这个词汇而已。同理加法群中的相加，并非一定是数的相加，更多的表示“抽象加法”的含义。
二、群的基本性质。
设g是一个群，g有下列性质：
1、 g至少存在一个元，叫做g的左单位元，使得对。
任意，。证明取定，由条件知在中有解，即，须证是的左单位元。
事实上，，故在中有解（条件），设解为，由的任意性是的左单位元。
2、 对于g的每一个元a，至少存在一个元，叫做a的。
一个左逆元，使得，是一个固定的左单位元。
证明，则在中有解，使是的左逆元。
定义2（群的第二定义）设是一个代数系统，“”满足。
结合律，并且。
1）中存在左单位元，2），都有左逆元，那么为群。
定理定义1与定义2等价。(p33)
证明：定义1定义2已证明。定义2定义1。分四步。
i） 证明：若a的左逆元为，则。
与左逆元是右逆元不同）。
本身也有左逆元，使。于是。
ii）证明：左单位元也是右单位元。
因此，所以，左单位元也是右单位元。
即。iii) 由（i）中最后的等式和（ii）知：
a的左逆元也是右逆元记为：。
iv) 方程，在g中有解：
因此，g是一个群。
四、群的有关名词和符号。
1）设是一个群，那么集合中含元素的个数称为。
群的阶。简记为。
如果+∞，称为有限群，否则当+∞时，称为无限群。
譬如：是无限群，而是有限群。
2）群的指数律和倍数律。
在群中，，则有下列等式成立（）
当群是加法群时，由于符号起了变化，所以有下列倍数律：
3） 若中任二个元，都有，则称是交换群（可换群，abel群）
作业：p35.3
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