第 4 讲。
10 等价关系与集合的分类 （2课时）
本讲教学目的和要求：周知，映射是两个集合之间建立联系的一种方法，利用这种联系来对两个集合进行比较，通过这种比较就能由一个集合的性质去推测另一个集合可能有的性质。除了这种认识事物的方法之外，有时也要把一个集合分成若干个子集，对各个子集进行分门别类地研究或者对某些特殊的子集加以讨论，这种讨论有益于对原来的集合的研究。
这种以局部到整体地认识事物的方法，在高等代数中已屡见不鲜，而在近世代数中更是不可缺少的，甚至是无处不有的。本讲中将分成两个层次分别介绍集合的分类以及讨论集合进行分类的一般原则——等价关系。
本讲中要求同学们能真正掌握集合的分类与等价关系它们的内在联系和互相转化的过程。
本讲的重点和难点：
1）“集合分类”的定义（尤其是分类的三大特点）。
2）集合上的关系及等价关系(要求能辨别出是否等价关系)
1） 上述两个概念的相互转化问题。
2） 一个重要的实例——模的剩余类集合。
本讲的教法和教具：本讲中仍采用投影仪辅助教学。在教学过程中，由于其概念较多，内容也颇抽象，则需要耐心、循序渐进，将每个概念都讲透。
本讲思考题及作业：思考题都穿插安排在教学内容之中，作业置后。
一、集合的分类。
例1、设整数集，并令。
可知，是整数集的一些子集，并具有以下特征：
这三条性质说明，整数集恰好被分成一些（四个）两两不相交的非空子集的并，这里的每个子集恰好由除以4余数相同的整数组成。
一般的，任取一个正整数，都能将分解成个两两不相交的非空子集的并，使得每个子集恰好是由除以余数相同的整数组成的。特别地，取时，则被分解成偶数子集和奇数子集的并。
例2、设是上一切二阶矩阵组成的集合，令。
易知，的这些子集（三个子集）满足以下特征：
这三条特性说明，二阶矩阵集恰好被分成三个两两不相交的非空子集的并，而每个子集恰好是由秩相同的二阶方阵组成的。
通过以上三个例子，则可概括出集合分类的定义。
定义1、设为任一个集合，而是的一些子集组成的集合，其中是指标集，如果。
则称是的一个分类而中每个元素都叫做在下的一个类。
所以，例1中，就是的一个分类，被分成四类。例2中，是二阶方阵集的一个分类，在下，被分成三个类。
注意：可以看出，对每一个确定的分类来说，凡是分在同一类里的元素都具有某种共同的性质，而分在不同类的元素所具有的这种性质也必不同。譬如例1中，的分类使在同一类里的整数除以4之后余数都相同，而分在不同类里的整数除以4后，得到的余数也必然不同。
例2中，在分类之下，同一类的二阶方阵秩数都相同，而分在不同类里的二阶方阵，其秩数不然不同。
对集合分类具有的三个显著的特性还可以从另一个角度来看，这种看法不仅具有普遍的意义，同时也更便于进行教学的推理论证。譬如，在例1中，在分类之下，同在一类的任二整数与都具有这样的关系：与的差被4整除，不在同一类的任二整数与必不具有这种关系，即与的差不被4整除。
诚然，“同类元素都具有同某种关系，不同类的元素一定没有这种关系”这种看法所指的“某种关系”完全由具体的集合、具体的分类所内定的，决不会千篇一律地都是“差被4整除”这种关系，比如例2。
但不管上述谈到的“某种关系”具体怎样，一般来说，集合的任何一个分类都是利用元素间的“某种关系”而得到的。这就是下面要讨论的问题。
二、等价关系。
1）关系：设为集合，，那么到的每个映射就叫做的一个关系。（也称为二元关系）
若，就称与符合关系，记为。
若，就称与不符合关系，记为。
由上述定义知，中任一对元，都可以判定与是否符合这个关系。
例3、在中，定义关系。
仔细观察可知：就是例1中的“除以4同余”的关系）
例4、在中，定义。
实际上，就是例2中的“秩相等”的关系）
例5、在中，定义。
上例中，就是通常的“大于”关系；就是整除关系；就是不互素关系。
2）等价关系。
有了关系的概念后，现考虑，用集合上的一个二元关系能否给确定一个分类，即由规则：
与分在同一个子集。
能否得到的满足分类条件的彝族子集？我们可先看看上述的例子。
对于可知能将分类：.
对于，可知能将分类：.
对于，不能将分类，因为同在一类，即在同一类，这是不可能的。
不能将分类。因为在同一类，但不能整除不在同一类，导出矛盾。
不能将分类。因在同一类，在同一类，但不在同一类，这是不可能的。
上述的例子分析可知：不是用的任何一个二元关系都能给确定一个分类；也就是说，能够给集合确定分类的二元关系是需要具有特殊性质才行。为此，我们必须研究下列特殊的二元关系。
定义2、设～是集合上的二元关系，如果～具有以下三种性质：
1） 反射律（反身性）：～
2） 对称律（对称性）：当～时必有～；
3） 推移律（传递性）：当～且～时，必有～。
那么关系～叫做上的等价关系。并且当～时，习惯称与等价。
从上述例子中可知：和都是等价关系，而（不满足反身性）、（不满足对称性）和（不满足传递性）都不是等价关系。
我们已经知道，不是等价关系的关系不可能作为分类的手段，而等价关系的重要意义正是在于它是造成分类的一般准则。
下面讨论等价关系与集合的分类之间内在联系的重要事实。
定理1：集合的每个分类都决定了的一个等价关系。
证明：设是的一个分类，用我们可以规定上的一个二元关系：～在同一类里，显然～是的一个关系，须证～是等价关系。
1） 反身性：～。
2） 对称性：
若～～.3）传递性：
若～～，定理2、集合的任一个等价关系～都可确定的一个分类。
证明：，令～，如此确定的这些子集具有：
1）：由～；
2），当与不等价时：若～～，由～的对称性和传递性知～，推出矛盾，所以。
的一个分类。注意：
2）若。因为设～～，由传递性推出～再由（1）知。
由定理可知：的等价关系～与的分类是可以相互推导的，但仍需要注意以下几个问题：
1） 若先有的一个等价关系～1，由～1确定的分类若为时，那么用定理1由确定的等价关系～2有～1=～2。
2） 若先有的一个分类，由确定的等价关系是～2，那么用定理2，由～2确定的的分类若为时，则=。
定义3：设是上等价关系～确定的分类，习惯上记╱～，并称╱～为的关于等价关系～的商集。
因为╱～=那么每个叫做的一个等价类，而叫做这个等价类的一个代表。而每类的一个代表组成的集合叫做的一个全体代表团。
注：由于，那么～，这表明对等价类来说，中任何元素均可作为的代表，即等价类与其代表元素的选取无关。
在本讲的例1中，╱～而显然，。但以及，所以在例1中╱～，而是的关于～的一个全体代表团。
思考题：你还能写出例1中的另一个全体代表团吗？
3）一种重要的等价关系——同余关系。
定义4、任取，可以在中确定一种等价关系。
则称为模的同余关系，并将记为。
由同余关系确定的分类中的等价关系为模的剩余类。
而由同余关系引导出来的商集习惯上记为。
在本讲的例1中，就是的同余关系，由此得到的分类为。
其中。注：同余关系尤其是剩余类将是我们后续课程中常常出现的内容，要求熟练掌握。
课堂训练：1、在中，哪两个整数是模4同余的：3与7，-11与2，21与-7，-9与15。
2、在中，属于的整数是：16，-6，20，-30。
3、在中，哪两个剩余类相等：[-3]与[9]；[12]与[32]；[1]与[-10]；[7]与[31]。
思考题：1、for set ,give two partitions of a and the corresponding relations
solution: two partitions of a are and corresponding equivalence relations are
2、which of the following is an equivalence relation on the indicated set, if it is, give corresponding partition.
1) on z ,m～n if .
2) on z ,m～n if m-n is a multiple of 4.
3) on r, let a～b if a-b
4) on q, ,m～n if m-n
5) on , let ～ if
三、补充知识——映射与分类、映射与等价关系之间的联系。
1、设～是集合上的一个等价关系得到商集╱～，作：╱～显然是到╱～的一个满射，称为自然映射。
2、设是集合的一个分类，作：，，如果），则是满射，同时也称为自然映射。
3、设为一个映射，由可定义的一个等价关系。
由～确定了一个商集╱～，其中：
于是可以定义╱～到的映射：
可以验算出：是单射，习惯上称为的导出映射。
映射，导出映射以及自然映射它们有如下重要关系。
定理3：设为一映射，那么存在唯一映射╱～，使图交换，即有，
其中为自然映射，并且。
是满射时是双射。
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