第四讲。
1.3，同构，cayley定理。
复习有关内容：
1，设s是一个非空集合，如果在s上定义了一个二元运算“”，则称(s,)为一个群胚。一个群胚(s,)中的运算“”如果是可结合的，则称(s,)为一个半群。一个半群(s,)中如果存在一个恒等元（单位元）1，则称(s,,1)为一个幺半群。
一个幺半群(g,,1)中如果每一个元都有逆元，则称(g,,1)为一个群。
2，一个幺半群(s,,1)的一个子集m称为(s,,1)的一个子幺半群如果1m并且a,bm,abm。幺半群(s,,1)的一个子幺半群。
n,,1)如果是一个群，则称(n,,1)为(s,,1)的一个子群。
3，设s是一个非空集合。那么幺半群(m(s),,is)的子幺半群称为s的变换幺半群。幺半群(m(s),,is)的可逆元群。
u(m(s))称为集合s的对称群，记为。
syms。对称群syms的子群称为s的变换群。
特别地，当s为。
有限集时，称对称群syms的子群为置换群。新课：
一、同构的定义。
1，定义1.3，设(m,,1)和(m',,1)是两个幺半群。它们称为同'构的，记为mm'，如果存在(m,,1)到(m',,1)的一个双射使。
得a,bm，均有(ab)(a)(b)，同时(1)1'。此时称为。
(m,,1)到(m',,1)的一个同构映射。
2，定义1.3中的条件(1)1'是多余的。事实上，xm,x1x1x,所以，x1x1x,即x11xx。
因为是满的，所以(1)应是m'中的恒等元。由恒等元的唯一性知，(1)1'。
例1：设z是整数集，2z是偶数集。那么(z,,0)与。
2z,,0)都是幺半群（实际上它们都是群，运算是数的加。
法，单位元都是0）。现作映射：z2z，其中。
n)2n,nz。则是(z,,0)到(2z,,0)的一个同构映射。事实。
上，映射：z2z显然是一个双射，并且a,bz，均有。
ab)2(ab)2a2b(a)(b)，因此(z,,0)(2z,,0)。
3，同构作为幺半群之间的一个关系是等价关系。因为（1）任何幺半群与自身同构（取恒等映射）（自反性成立）。
2）设：mm'是一个同构映射，那么x,ym,均有。
xy)(x)(y)，从而xy1(x)(y)。现令x'(x),y'(y),则有x1(x'),y1(y')，于是1(x')1(y')1(x'y')对所有x',y'm'都。
成立（因为是满射）。所以1是m'到m的一个同构映射（对称性成立）。
3）设是m'到m''的一个同构映射，那么x,ym,xy)(xy)(x)(y)(x)(y)xy。因。
此，:mm''是一个同构映射（传递性成立）。二，幺半群（群）的实现。
1，幺半群与群的cayley定理：（1）任一个幺半群与一个变换幺半群同构；（2）任一个群与一个变换群同构。证明：（1）设(m,,1)是一个幺半群，am。作映射。
al:mm满足xm,al(x)ax，称al为m
上的一个内左平移。
左乘），记ml。显然，mlm(m)。下证(ml,)是幺半群(m(m),,im)的一个子幺半群。
首先1lx1xim(x)，因此im1lml，即ml含有恒等映射im。其次，设al,blml,那么xm,alblxalblxalbxabxabxablx。于是。
alblablml。因此，(ml,,im)是幺半群(m(m),,im)的一个子。
幺半群，即(ml,,im)是m的一个变换幺半群。再证。
m,,1)(ml,,im)。
作映射：mml，使得am,aal。显然是满射，又因为abalblal1bl1a1b1ab，所以是单射。因此是双射。其次，a,bm,abablalblab，所以。
是m到ml的一个。
同构映射，即mml。
2)设(g,,1)是一个群。那么由（1）知，(gl,,ig)是g的一个变换幺半群。下证(gl,,ig)是g的一个变换群。
为此，只需证明(gl,,ig)是一个群。事实上，algl,ila1ala1lal且。
ilala1
g的一个双射并且(al)1a1gl。即，因此是alll
gl,,ig)是一个群。再由（1）知ggl。
2，推论：任一个有限群同构于一个置换群。
1.4，广义结合性，交换性一，广义结合性。
1，引理：设(m,,1)是一个幺半群，aim,i1,2,..n。定义ai
i1n如下：aia1,ai(ai)ar1,则。i1i1
i11r1r
ai)(anj)ai。i1j1
i1nmnm
证明：用数学归纳法。当m1时，由定义结论成立。假设。
mk时结论成立，那么当mk1时，我们有。
nknk1aaaaanjnk1injii1j1i1j1
aianjank1aiank1i1j1i1nk
nknk1i1ia
证毕。2，定理：设(m,,1)是一个幺半群，aim,i1,2,..n。那么，a1,a2,..an按次序a1a2...an的所有添加括号的积均相等，它们的。
值为ai((.a1a2)a3)..an1)an。i1n
证明：首先，a1a2...an的任一个添加括号的积最终可表示为。
uv，其中u是a1a2...anm的一个添加括号的积，v是anm1...an的一。
个添加括号的积。今对n作数学归纳法，当n1时结论显然成立。假设对于n时定理成立，那么对于n，由归纳假设及引理知。
nnmma1a2...anm的任一个添加括号的积=uvaianmjai
i1j1i1
注：在上述定理中，a1,a2,..an按次序a1a2...an的所有添加括号的积都相等。那么这个积简记为a1a2...an。
3，如果aia,i1,2,..n，那么我们用a表示ai。称an为a的。nn
i1n次幂。不难验证，对于任意正整数m,n，均有。
amanamn,(am)namn。如果令a01,那么上式对任意非负整数。
m,n均成立。
如果a是(m,,1)中的可逆元，令an(a1)n，显然。
an(an)1，且不难验证，上式对任意整数。
m,n均成立。
二，中心。1，设(m,,1)是一个幺半群，a,bm。如果abba，那么a与b称为可交换的。如果m中每一对元素都是可交换的，那么。
m称为交换幺半群。交换群又称为。
abel群。
axxa}。
2，设(m,,1)是一个幺半群，am，令c(a)。
证明：设属于sn的中心，但。
1，则i，使得。
ij,(ij)。因为n3，所以可在上取到k使i,j,k互。
异，并且ikik（因为中心）。这里(ik)表示一个置换满足将i射到k并且将k射到i而其他元素均不变。所以。
ik)iiki。因为(ik)i(k)，ikij，所以。
kj，这与ij矛盾。于是c(sn)。
作业：p39：3,6;
p42：1,3.
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