正、反比例函数。
知识要点〗一、 基本概念与性质：
我们需要从以下几个方面进行复习：定义，解析式，定义域，图像，性质．
1、定义、解析式、定义域：
1）正比例函数：
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例．用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为，其中是不等于零的常数．
为了研究问题的方便，我们把解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数。
正比例函数的定义域是一切实数的函数．
2）反比例函数：
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例。用数学式子表示两个变量成反比例，就是，或表示为，其中为不等于零的常数。
解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，其中也叫比例系数。
反比例函数的一般式：或表示成．
反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．
2、图像：对于一个函数，如果一个图形（包括直线、曲线或其他图形）上任意一点的坐标都满足函数关系式，同时以这个函数解析式所确定的与的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数的图像．
1）正比例函数的图象是经过点（0，0）和点（1，）的一条直线．我们把正比例函数的图像叫做直线．
2）反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支关于原点成中心对称．
3、基本性质：
1）正比例函数（是常数，）的性质：
1）与0的大小：
当k>0时，正比例函数的图象经过第。
一、三象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大。
当k<0时，正比例函数的图象经过第。
二、四象限，自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。
2）与1的大小：
时，正比例函数的图像为各象限的坐标轴夹角平分线所在直线，k>0时，为第。
一、三象限的坐标轴夹角平分线所在直线；当k<0时，为第。
二、四象限的坐标轴夹角平分线所在直线。
时，正比例函数的图像越接近轴，时，正比例函数的图像越接近轴。
2）反比例函数（是实数，）的性质：
与0的大小：
当k>0时，图象的两个分支分别在第。
一、三象限内，在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小。
当k<0时，图象的两个分支分别在第。
二、四象限内，在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大。
图象的两个分支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴与y轴相交．
4、对称性：
正比例函数图像的对称性。
1） 正比例函数（是常数，）的图像关于原点对称。
2） 当时，正比例函数（是常数，）与（是常数，）的图像关于坐标轴对称。
3） 当且、同号时，正比例函数（是常数，）与（是常数，）的图像关于各象限的坐标轴夹角平分线所在直线或对称。
反比例函数图像的对称性。
1） 反比例函数（是实数，）的图像关于原点对称。
2） 反比例函数（是实数，）的图像关于各象限的坐标轴夹角平分线所在直线或对称。
3） 当时，反比例函数（是实数，）与反比例函数（是实数，）的图像关于坐标轴对称。
5、反比例函数的面积不变性。
二、 基本方法：待定系数法。
确定了各项系数，就可以确定一个函数的解析式．
一般地在求函数的解析式时，先设解析式，其中系数待定，再利用已知条件确定系数的值．这样的方法称为“待定系数法”，这是在数学问题解决中常用的方法．
三、 基础应用：
函数图像的交点：
求两函数图像交点的方法：若两函数图像相交，则其交点坐标必分别满足两个函数的解析式，因此求两个函数图像的交点，即求解由这两个函数解析式组成的方程组．
对于正比例函数与反比例函数的图像，1） 当时，没有交点；
2） 当时，有交点，且有两个交点，这两个交点关于原点对称．
典型例题〗例1
1、已知函数，是正比例函数，且随的减小而减小，求的值．
2、已知函数，若此函数为反比例函数，且在每一象限内的值随的增大而减小，求的值，并写出函数解析式．
例2 1、已知正比例函数的自变量增加3时，对应的函数值减少5，求这个函数的解析式．
2、反比例函数图像上有一点a，ab⊥x轴于b，△aob的面积为10，求反比例函数解析式．
例3 1、 如图，∠1＝∠2，那么直线的解析式为。
2、 对于直线上的每一个点，都能在上找到它关于轴的对称点，那么。
3、 已知点p关于轴对称的点坐标是（，）那么过点p的正比例函数的解析式为。
4、 把函数的图像沿轴翻折，其图像对应的解析式为。
5、 如图，反比例函数的图象与直线相交于a、b两点，ac∥轴，bc∥轴，则△abc的面积等于个面积单位．
6、 如图，直线与双曲线交于、两点，那么的值等于 ．
7、 已知正比例函数和反比例函数，，且的图象经过点（，）则反比例函数的解析式为。
例41、在平面直角坐标系xoy中，直线y=－x绕点o顺时针旋转90°得到直线l，直线l与反比例函数的图象的一个交点为a(a，3)，试确定反比例函数的解析式．
2、正比例函数的图象经过点（4，－2），点a在此图象上，且与点p（0，－3）所构成的。
opa的面积为6，求点a的坐标．
3、如图，在反比例函数的图象上有不重合的两点a、b，且a点的纵坐标是2，b点的横坐标是2，bb’和aa’都垂直于x轴，b’、a’为垂足．求：
1） a点的横坐标；
4、已知a（－3，0），b（0，6），通过原点o的直线把△aob分为面积比为1∶2的两部分，求这条直线的解析式．
例5 如图，已知直线与双曲线交于a、b两点，且点a的横坐标为4．
1）求的值；
2）若双曲线上一点c的纵坐标为8，求△aoc的面积；
3） 过原点o的另一条直线l交双曲线于p、q两点（点p在第一象限），若由点a，b，p，q为顶点组成的四边形面积为24，求点p的坐标．
例6 如图，如果正方形oabc的顶点b和正方形adef的顶点e都在函数的图像上，求点e的坐标。
例7 如图，已知a、b两点是反比例函数 (x>0)的图象上任意两点，过a、b两点分别作y轴的垂线，垂足分别为c、d，连结ab、ao、bo，探索梯形abdc的面积与△abo的面积的比值是多少？
例8 如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点。函数的图象与直线，，，分别交于点，，，函数的图象与直线，，，分别交于点，，，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作，…四边形的面积记作，那么。
例9 已知：点p（m,4）在反比例函数的图像上，正比例函数的图像经过点p和点 q（6,n）．
1）求正比例函数的解析式；
2）在x轴上求一点m，使△mpq的面积等于18．
例10如图，等边和等边的一边都在轴上，反比例函数的图像经过边的中点和的中点．已知等边的边长为8，1）直接写出点c的坐标；
2）求反比例函数解析式；
3）求等边的边长．
例11如图，rt△abc的顶点b在反比例函数的图象上，ac边在x轴上，已知∠acb=90°，∠a=30°，bc=4，求图中阴影部分的面积．
例12已知在平面直角坐标系xoy中，点a（m,n）在第一象限内，ab⊥oa，且ab=oa，反比例函数的图像经过点a．
1）当点b的坐标为（6,0）时（如图1），求这个反比例函数的解析式；
2）当点b也在反比例函数的图像上，且在点a的右侧时（如图2），用m、n的代数式表示点b的坐标；
3）在第（2）小题的条件下，求的值．
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