第4讲用比例的方法解行程问题（尖子班）
例1，甲、乙往返于相距1000米的a、b两地，甲先从a地出发，6分钟后乙也从a地出发，并在距a地600米的c地追上甲，乙到b地后立即原速向a地返回，甲到b地休息1分钟后加快速度向a地返回，并在c地追上乙。问：甲比乙提前多少分钟回到a地？
乙比甲早6×＝4分钟到达b地。（甲比乙早出发6分钟，乙走了600米追上甲，可见乙走600米比甲少用6分钟，那么对于剩下的400米，乙比甲要少用6×＝4分钟。）
乙从b地出发比甲早4＋1＝5（分钟），甲比乙提前5×＝7.5分钟回到a地。（乙从b地出发比甲早5分钟，乙走到c地被甲追上，实际上甲走400米比乙少用5分钟，对于最后剩下的600米，甲比乙少用5×＝7.
5分钟。）
答：甲比乙提前7.5分钟回到a地。
例2，一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高50%。出发2小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲乙两地往返一次需要多少时间？
小轿车速度如果不提高，当大货车到乙地时，小轿车离开乙地的距离是全程的：
最初，小轿车与大货车的速度比是：
v轿︰v货＝（1＋）︰1＝4︰3
小轿车到达乙地时，大货车走了全程的，距离乙地还差全程的。
③ 提速后小轿车与大货车速度比是：
v轿︰v货＝﹝4×（1＋50%）﹞3＝2︰1
大货车先走全程的，到相遇时又走全程的×＝
从出发到相遇大货车共走了全程的＋＝，用了2小时。
大货车从甲地到乙地走完一个全程需要2÷（＋小时。
小轿车从甲地到乙地需要×＝小时。
小轿车从乙地返回甲地需要×＝小时。
小轿车往返一次需要＋＝3小时。
答：小轿车在甲乙两地往返一次需要3小时。
例3，甲乙两地间平路占，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的，一辆汽车从甲地到乙地共行了10小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢20%，行下山路的速度比平路快20%，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？（假定特殊值）
设甲乙两地之间的距离为25份。
平路25×＝5份，由甲地到乙地上坡路（25－5）×＝8份，下坡路（25－5）×＝12份，再假设这辆汽车在平路上的速度为5份/时。
则上坡路的速度为5×（1－20%）＝4份/时； 下坡路的速度为5×（1＋20%）＝6份/时；
② 从甲地去乙地的总时间是8÷4＋5÷5＋12÷6＝5份。
从乙地回甲地的总时间是8÷6＋5÷5＋12÷4＝5份。
因为从甲地到乙地总共花了10小时，所以从乙地返回甲地共花10÷5×5＝10小时。
答；汽车从乙地回到甲地要行10小时。
例4，丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘的遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的10%倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的20%倒退1分钟，以此类推，按第n次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的n×10%倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐要在比赛中最后获胜，他最少要按几次遥控器？
乐乐的玩具甲虫跑完全程需要400÷20＝20分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要400÷30＝分钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因为倒退所耽误的总时间超过20－＝分钟。
乐乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的1分钟和跑完这1分钟倒退路程所花费的时间，合计为1＋1×10%＝1.1分钟。
乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为1＋2×10%＝1.2分钟。
乐乐第三次按遥控器后，丁丁耽误的时间为1＋3×10%＝1.3分钟。
乐乐第n次按遥控器后，丁丁耽误的时间为1＋n×10%＝1＋0.1n分钟。
因为1.1＋1.2＋1.3＋1.4＋1.5＋1.6＝8.1＞，而。
所以，乐乐要想取胜，至少要按6次遥控器。
例5，欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里。早晨7：40，欢欢从家出发骑车去学校，7：
46追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8：00赶到学校时，贝贝也恰好到学校。如果欢欢在家换校服用去6分钟且掉头时间不计，那么贝贝从家出发的时间是点分。
先读题，理解题意。画线段图。
欢欢7：40从家骑车出发，7：46追上了一直匀速步行的贝贝，用时6分钟。
欢欢调头回家，速度提高到原来的2倍，根据“速度×时间＝路程”在路程一定的时候速度与时间成反比，欢欢回到家用6÷2＝3分钟。
在家换衣服用去6分钟。赶到第一次追上贝贝的地点又用去3分钟。
欢欢8：00赶到学校，剩下的路段只用20－6－3－6－3＝2分钟。而这段路贝贝步行用了60－46＝14分钟。
② 欢欢提速后2分钟走的路程贝贝用14分钟，提速前欢欢2分钟走的路程贝贝只用14÷2＝7分钟。欢欢从家出发用6分钟追上贝贝，贝贝走这段路需要7×（6÷2）＝21分钟。
欢欢7：46追上匀速步行的贝贝，而这时贝贝已经走了21分钟，46－21＝25分钟。所以贝贝从家出发的时间是7点25分。
例6，如图所示，有a、b、c、d四个游乐景点，在连接它们的三段等长公路ab、bc、cd上，汽车行驶的最高时速限制分别为120千米，40千米和60千米。一辆大巴车从a景点出发驶向d景点，到达d景点后立即返回；一辆中巴同时从d景点出发驶向b景点，两车相遇在c景点，而当中巴到达b点时，大巴又回到了c景点。已知大巴车和中巴车在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在于大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了12.
5%，求大巴客车的最高时速。
设ab＝bc＝cd＝60千米。
大巴车在c→d→c段用60×2÷60＝2（小时），在这段时间中巴走c→b段。
中巴车在c→b段的速度为60÷2＝30千米/时，中巴车在d→c段的速度为30÷（1＋12.5%）＝千米/时，中巴车在d→c段所用时间是60÷＝（小时），这也是大巴车从a→b→c用的时间。
大巴车在bc段上最少用60÷40＝小时，大巴车在ab段最多用－＝（小时），大巴车的最高时速为60÷＝80千米/时。
答：大巴车的最高时速为80千米/时。
例7，某校在400米环形跑道上进行10000米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次超过乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
“在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙，在第23分钟时甲再次超过乙。”说明甲加速后每过23－18＝5分钟比乙多跑1圈，每分钟比乙多跑400÷5＝80米/分。
板书：加速后甲每分钟比乙多跑400÷（23－18）＝80米/分。
② 第18分钟时甲乙处于同一位置，第23分50秒时甲到达终点。乙距离终点的距离就是此时甲、乙之间的距离，此时乙距离终点还有80×（23－18）＝米，即乙在23分内跑了（10000－）米，乙的速度始终保持不变，所以乙的速度是：
10000－）÷23＝400米/分。
板书：乙的速度是〔10000－80×（23－18）〕 23＝400米/分。
③ 乙跑完全程需要10000÷400＝25分钟。
答：乙跑完全程所用的时间是25分钟。
例8，如图，学校操场400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重。甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点a处出发，当它们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？
读题，理解题意。
甲乙两人肯定在ab右侧的200米跑道上相遇。
第一次在ab右侧相遇，甲跑一圈回到a点时用时400÷6＝＝66分钟。此时乙跑4×＝266米，还没有到达a点。
③ 乙跑一圈回到a点时，用时300÷4＝75分钟，此时甲一共跑了6×75＝450米，已经过a点向左50米，这时离下次相遇还需（400－50）÷（6＋4）＝35分钟。
从出发到第二次相遇共需75＋35＝110分钟，甲共跑了6×110＝660米。
答：当它们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了660米。
例9，三个环形跑道如图排列，每个环形跑道周长为210厘米，甲、乙两只爬虫分别从a、b两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕号环形跑道作“8”字形循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别为每分钟20厘米和每分钟15厘米，甲、乙两只爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少米？
甲爬虫爬完半圈需要210÷2÷20＝5.25分钟；
乙爬虫爬完半圈需要210÷2÷15＝7分钟；
甲爬虫第一次爬到c需要5.25分钟，第一次爬到d需要5.25×2＝10.5分钟。乙爬虫第一次爬到d需要7分钟，所以第一次相遇的地点在2号环形跑道的上半圈处。
甲爬虫绕“8”字形循环运动第二次到c点用5.25×3＝15.75分钟，乙爬虫第一次到c点用7×2＝14分钟。所以第二次相遇的地点在2号环形跑道的下半圈处。
③到第二次相遇时甲、乙两只爬虫都爬了2个半圈零一点，合起来两只爬虫共爬了2.5圈。所用时间是：
210×2.5÷（20＋15）＝15分钟；甲爬虫共爬了20×15＝300厘米。
答：到第二次相遇时，甲爬虫爬了300米。
如下图，甲从a出发，不断往返于ab之间行走，乙从c出发，沿c→e→f→d→c围绕矩形不断行走，甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离d点多少米？（已知ac＝80米，cd＝ef＝120米，ce＝df＝30米，db＝100米）
尖子 数学 第4讲
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