广西师范大学**高等教育。
2012 年第二（暑）学期期末考试。
近世代数 》本科试卷（b卷）
闭卷 ）本试卷共有六大题，满分 100 分，考试时间 120 分钟）
一、判断题，对的划√，错的划×（每小题2分，共20分）
二、填空题（每题2分，共20分）
2． 9 个。
3．集合a上的二元关系满足对称性是指若x"y（x，y∈a∧∈r∈r
4． -a
6．写出一个由5生成的无限循环群。
8． 变换群群同构。
10． =2n
三、（15分）试分析正三角形的对称群。
首先，绕正三角形的中心 o 转角为 2 /3的逆时针旋转是d3中元素。 其次，将顶点 1 固定的变换一共有两个，即恒等置换 i 以及将顶点 1 保持不动的关于对称轴的反射。
= （2，n）(3,n-1)……n/2，n/2+2）, n/2
（2，n）(3,n-1)……n+1）/2，(n+3)/2+2）, n/2
且n=3从而顶点 1 的固定子群是 2 阶的，并且=6。这个群的生成关系为。
n = i 2 = i1
四、（15分）
则，高斯整数环z 〔i 〕,即一切形如a+i*b(z为整数集) 的复数作成的数环，为一整环。对于z 〔i 〕中某固定元。 a+b,i,记万=(a +bi)由于z有单位元可交换，故(a+bi,)。
由剩余类环理论知z 〔i 〕关于理想(a+bi)作成剩余类环z 〔zi〕/(a +bi )。推导出z 〔‘a +bi)的代衣元构成，及对任一高斯林数劣，如何判断它属于z 〔i〕/(a +bi)的叽一类‘最后讨论当a、b满足一些特殊关系时z 〔i〕/(a + bi)的性质。
一个数集对普通加法、乘法作成的环称为数环。上述的三个环都是数环。
五、（15分）证明：整数**与偶数**同构。
证明：设g=(z,+)g'=(偶数，+)令f:x->2x,则f是g到g'的双射，且有。
f(x+y)=2(x+y)=2x+2y=f(x)+f(y)
因此g与g‘同构，即整数**与偶数**同构。
六、（15分）
模12的剩余类**的所有子群。
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