数的整除。
主要内容：1）能被2,3,4,5,8,9,11,25,125等整除的数字特征；
2）与（1）相关的证书组成与补填问题；
3）成绩末尾0的个数的计算。
教学重点：1）若一个整数的末位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；
2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；
3）若一个整数的末两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；
4）若一个整数的末三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；
5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。
例题。1. 一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88所得的商是___或___
1. 2620或2711
一个数如果是88的倍数，这个数必然既是8的倍数，又是11的倍数。根据8的倍数，它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数，从已知的四个数看，这个六位数奇偶位上数字的和是相等的，要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的，因此这个六位数有两种可能。
23 0 56 0 或23 8 56 8
又 23056088=2620
所以，本题的答案是2620或2711.
2. 123456789□□,这个十一位数能被36整除，那么这个数的个位上的数最___
因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除，又能被4整除。因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征：
这个数的末尾两位数是4的倍数，可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样，这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性。
所以，这个数的个位上的数最小是0.
3. 下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这。
991个 991个。
个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是___
991个 991个。
990个990个
因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除，所以只要。
990个 990个。
3□4能被7整除，原数即可被7整除。故得中间方框内的数字是6.
4. 有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11的倍数。这三个数是_.
4. 10,11,12或21,22,23或32,33,34.
三个连续的两位数其和必是3的倍数，已知其和是11的倍数，而3与11互质，所以和是33的倍数，能被33整除的两位数只有3个，它们是.所以有。
当和为33时，三个数是10,11,12；
当和为66时，三个数是21,22,23；
当和为99时，三个数是32,33,34.
注]“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：
设三个连续自然数为n,n+1,n+2,则。
n+(n+1)+(n+2)
3n+33(n+1)
所以，能被3整除。
5. 有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除。所有这样的两位数的和是___
符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，如果十位数不变，则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两位数有.
所以，所求的和是39+79=118.
6. 一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么这个自然数是___
因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且1515=225>200,所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数，但11不可能符合条件，因为对于小于200的自然数凡11的倍数，具有隔位数字之和相等的特点，个位百位若是奇数，十位必是偶数。所以只需检查13的倍数中小于200的三位数1313=169不合要求，1315=195适合要求。所以，答案应是195.
7. 任取一个四位数乘3456,用a表示其积的各位数字之和，用b表示a的各位数字之和，c表示b的各位数字之和，那么c是___
根据题意，两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能。
因为3456=3849,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除，根据能被9整除的数的特征，可知其积的各位数字之和a也能被9整除，所以a有以下八种可能取值：9,18,27,36,45,54,63,72.从而a的各位数字之和b总是9,b的各位数字之和c也总是9.
8. 有五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是___
0+1+4+7+9=21能被3整除，∴从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的四位数能被3整除。即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数，由小到大排列为：1047,1074,1407,1470,1479,1497….
所以第五个数的末位数字是9.
9. 从中，选出四个数，排列成能被整除的四位数，其中最大的是___
根据能被、整除的数的特征，这个四位数的个位必须是0，而十位、百位、千位上数字的和是3的倍数。
为了使这个四位数尽可能最大，千位上的数字应从所给的6个数字中挑选最大的一个。从7开始试验，7+4+1=12,其和是3的倍数，因此其中最大的数是7410.
10. 所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是___位数。100个。
100个 100个。
显然连续的2能被2整除，而要被3整除，2的个数必须是3的倍数，又要被11…1整除，2的个数必须是100的倍数，所以，最少要有300个连续的2方能满。
100个。足题中要求。答案应填300.
11. 找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？
11. 如果最小的数是1,则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察这四个数，仍不符合要求，因为5+2=7,不能被5-2=3整除。
再往下就是,经试算，这四个数符合要求。所以，本题的答案是(3+4)=7.
12．只修改21475的某一位数字，就可知使修改后的数能被225整除，怎样修改？
12. 因为225=259,要使修改后的数能被25整除，就要既能被25整除，又能被9整除，被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前三个数字即可，根据某数的各位数字之和是9的倍数，则这个数能被9整除的特征，因为2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法：把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.
13．500名士兵排成一列横队。第一次从左到右（1至5）名报数；第二次反过来从右到左（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？
13. 若将这500名士兵从右到左依次编号，则第一次报数时，编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时，编号能被6整除的士兵报6，所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个，所以既报1又报6的士兵共有16名。
14．试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：
“不能”，则需给出说明。
14. 不能。
假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3 的倍数。从而一共有不少于40个数是3 的倍数。但事实上，在1至100的自然数中有33个数是3的倍数，导致矛盾。
15.试说明：将写成一个最简分数时，q不是5的倍数。
解：理由：
这里是最简分数。因为在中的每一个分数中，分母都不能被5整除，所以通分后，其最简分数的分母p1不能被5整除，所以：，因此不是5的倍数。
思考：写成最简分数后，分母m不是5的倍数。
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