第六讲、无穷级数。
一、 基本内容及要求。
1、收敛的充要条件如何？级数收敛的性质如何？
2、正项级数收敛的充要条件如何？审敛法如何？
3、交错级数的审敛法如何？
4、幂级数的收敛区间及和函数的求法，应用。
5、展开成幂级数的方法及条件。
6、函数展开成傅里叶级数及和函数与的关系，应用等。
二、 举例。
例6．1 求下列级数的和：（1），（2），（3）解：裂项求和法。
例6．2 判断下列级数的敛散性：
解：主要为p—级数应用。
例6．3 判断级数的敛散性：
解：莱布尼茨判别法可得。
例6．4 求下列幂级数的收敛域：
例6．5 将下列函数展开成幂级数：
解：主要是等比级数的应用。
例6．6 求下列级数的和：
例6．7求证：，并计算的值。
练习题：6.1 设方程证明方程存在唯一的正实根，并证明：当时，收敛。
6.2 设正项级数收敛，求证：也收敛。
6.3 判断级数的敛散性。
解：目的是：交错级数在莱布尼茨判别法不适用时如何处理。
6.4 设为曲线所围成区域的面积，记求的值。
6.5 将展开成的幂级数，并计算的值。
6.6 求证：
满足：.并求的和函数。
6.7 设在内收敛，和函数为，且满足：
1) 证明：
2) 求的表达式。
6.8 已知，则。
6.9 将展开成余弦级数，并计算：的和。
6.10试求：
6.11求关于x的幂级数展开式，并指出其收敛域。
解：关键是求。
6.12 设数列单调增有界，且，试判别级数的敛散性。
注解：目的是检查基本功。
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