第七讲：级数。
数项级数。数项级数的概念。
给定一个数列 u1 u2 u3 un 则由这数列构成的表达式u1 u2 u3 un 叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为即。
其中第n项u n 叫做级数的一般项
级数的部分和。
作级数的前n项和。
称为级数的部分和
级数敛散性定义。
如果级数的部分和数列有极限s 即
则称无穷级数收敛这时极限s叫做这级数的和
并写成。如果没有极限则称无穷级数发散
余项。当级数收敛时其部分和s n是级数的和s的近似值它们之间的差值。
rnssnun1un2
叫做级数的余项
重要例题：1、几何级数：
2、调和级数：发散。
3、p-级数：
收敛级数的基本性质。
性质1 如果级数收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛且其和为ks 即：如果则。
性质2 如果级数、分别收敛于和s、 则级数也收敛且其和为s 即：如果、 则。
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性
性质4 如果级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数。
11)+（11) +收敛于零但级数1111 却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
定理： 如果收敛则它的一般项un 趋于零即
数项级数的敛散性判别。
正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数
定理正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界
正项级数的敛散性判别法：
比较判别法：
设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有，则。
1）若级数收敛，则级数也收敛；
2）若级数发散，则级数也发散。
比较判别法的极限形式：
设和是两个正项级数，若，则。
（1）当时，级数、同时收敛或同时发散；
2）当且级数收敛时，级数也收敛；
3）当且级数发散时，级数也发散。
例： 以几何级数作为比较对象，可得达朗贝尔判别法和柯西判别法：
达朗贝尔判别法：
设为正项级数，且存在某正整数及常数（）。
1）若对一切，成立不等式 ，则级数收敛。
（2）若对一切，成立不等式 ，则级数发散。
常用推论（比值判别法）：
若为正项级数，且，则。
（1）当时，级数收敛；
2）当或时，级数发散；
3）当时，无法判断级数的敛散性。
例。柯西判别法：
设为正项级数，且存在某正数及正常数，（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；
（2）若对一切，成立不等式，则级数是发散的。
常用推论（根式判别法）：
设为正项级数，且，则。
（1）当时，级数收敛；
（2）当时，级数发散；
（3）当时，无法判断级数的敛散性。
例： 积分判别法：
设为上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。
达朗贝尔判别法与柯西判别法均有失效的时候，若以p-级数作为比较，可得：
拉布判别法（不要求掌握）：
设为正项级数，且存在某正整数及常数，（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；
（2）若对一切，成立不等式，则级数发散。
常用推论：设为正项级数，且，则：
（1）若，则级数收敛；
（2）若，则级数发散；
（3）若，则无法判断的敛散性。
例：讨论级数当，2，3时的敛散性。
交错级数的敛散性判别法：
交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的
交错级数的一般形式为其中
莱布尼茨定理：
如果交错级数满足条件 (1)unun1 (n1 2 3 ) 2)
则称该级数为莱布尼兹级数；
莱布尼兹级数必定收敛且其和su1 其余项rn的绝对值|rn|un1
例：证明级数收敛并估计和及余项
绝对收敛与条件收敛
若级数收敛则称级数绝对收敛
若级数发散而级数收敛则称级条件收敛
例：级数是绝对收敛的而级数是条件收敛的
定理：如果级数绝对收敛则级数必定收敛
值得注意的问题
如果级数发散我们不能断定级数也发散
例：判别级数（1）（2）的收敛性
作业：1、判别级数的敛散性：（1），（2）
2、设，且，判断级数的敛散性。
幂级数。函数项级数的概念。
函数项级数
给定一个定义在区间i 上的函数列 由这函数列构成的表达式。
u1(x)u2(x)u3(x) un(x)
称为定义在区间i上的(函数项)级数记为
收敛点与发散点
对于区间i内的一定点x0 若常数项级数收敛则称点x0是级数的收敛点若常数项级数发散则称点x0是级数的发散点
函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散域
和函数 在收敛域上函数项级数的和是x的函数s(x) s(x)称为函数项级数的和函数并写成 ∑un(x)是的简便记法以下不再重述
在收敛域上函数项级数∑un(x)的和是x的函数s(x) s(x)称为函数项级数∑un(x)的和函数并写成s(x)∑un(x) 这函数的定义就是级数的收敛域
部分和 函数项级数的前n项的部分和记作sn(x) 函数项级数∑un(x)的前n项的部分和记作sn(x) 即。
sn(x) u1(x)u2(x)u3(x) un(x)
在收敛域上有或sn(x)s(x)(n)
余项 函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)s(x)sn(x)叫做函数项级数的余项函数项级数∑un(x)的余项记为rn (x) 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差 rn (x)s(x)sn(x) 在收敛域上有
幂级数及其收敛性。
幂级数 函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数。
项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是。
a0a1xa2x2 anxn
其中常数a0 a1 a2 an 叫做幂级数的系数
幂级数的例子
1xx2x3 xn
注幂级数的一般形式是。
a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n
经变换txx0就得a0a1ta2t2 antn
幂级数。1xx2x3 xn
可以看成是公比为x的几何级数当|x|1时它是收敛的当|x|1时它是发散的因此它的收敛。
域为(1 1) 在收敛域内有。
阿贝尔定理。
如果级数当xx0 (x00)时收敛则适合不等式。
提示 ∑anxn是的简记形式
推论。如果级数不是仅在点x0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数r存在使得。
当|x|r时幂级数绝对收敛
当|x|r时幂级数发散
当xr与xr时幂级数可能收敛也可能发散
收敛半径与收敛区间
正数通常叫做幂级数的收敛半径开区间(r r)叫做幂级数的收敛区间再由幂级数在xr处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数的收敛域是(r, r)或[r, r)、(r, r]、[r, r]之一
规定若幂级数只在x0收敛则规定收敛半径r0 若幂级数对一切x都收敛则规定收敛半径r 这时收敛域为(,
定理。如果其中an、an1是幂级数的相邻两项的系数则这幂级数的收敛半径。
例1 求幂级数。
的收敛半径与收敛域。
例2 求幂级数的收敛域
例3 求幂级数的收敛半径
例4 求幂级数的收敛半径
例5 求幂级数的收敛域
幂级数的运算。
设幂级数及分别在区间(r, r)及(r, r)内收敛则在(r, r)与(r, r)中较小的区间内有。
加法。减法。
乘法 a0b0(a0b1a1b0)x(a0b2a1b1a2b0)x2
a0bna1bn1 anb0)xn
性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域i上连续如果幂级数在xr (或xr)也收敛则和函数s(x)在(r, r](或[r, r))连续
性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域i上可积并且有逐项积分公式。
xi ) 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(r r)内可导并且有逐项求导公式。
x|r) 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
重要结论：（在收敛域内）
例6 求幂级数的和函数
例7 求级数的和
作业：1. 已知在处条件收敛，问该级数收敛半径是多少？
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