定积分理论。
一、实际应用背景。
1、运动问题—设物体运动速度为，求上物体走过的路程。
1）取，其中；
2）任取，；
3）取，则。
2、曲边梯形的面积—设曲线，由及轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。
1）取，其中；
2）任取，；
3）取，则。
二、定积分理论。
一）定积分的定义—设为上的有界函数，1）取，其中；
2）任取，作；
3）取，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。
注解】1）极限与区间的划分及的取法无关。
例题】当时，令，对，情形一：取所有，则；
情形二：取所有，则，所以极限不存在，于是在上不可积。
2），反之不对。
分法：等分，即，；
取法：取或，则。
则。例题1】求极限。
解答】。例题2】求极限。
解答】。三、定积分的普通性质。
5、设，则。
证明】，因为，所以，又因为，所以，于是，由极限保号性得。即。
2）设，则。
6（积分中值定理）设，则存在，使得。
四、定积分基本理论。
定理1 设，令，则为的一个原函数，即。
注解】1）连续函数一定存在原函数。
例题1】设连续，且，求。
解答】，。例题2】设为连续函数，且，求。
解答】定理2 （牛顿—莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。
证明】由得，从而，于是，注意到，所以，即。
五、定积分的积分法。
一）换元积分法—设，令，其中可导，且，其中，则。
二）分部积分法—。
六、定积分的特殊性质。
1、对称区间上函数的定积分性质。
设，则。1）则。
2）若，则。
3）若，则。
例题1】设，其中为偶函数，证明：
解答】2）计算。
解答】，因为，所以，取得，于是。
2、周期函数定积分性质。
设以为周期，则。
1），其中为任意常数（周期函数的平移性质）。如。
3、特殊区间上三角函数定积分性质。
1）设，则，特别地，且。
例题1】计算。
解答】例题2】计算。解答】
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